第06章习题解答

1习题6参考解答6.1下图所示为两个相干成像系统。所用透镜的焦距都相同。单透镜系统中光阑直径为D，双透镜系统为了获得相同的截止频率，光阑直径l应等于多大(相对于D)写出关系式。解：设物距为od，像距为id，放大率为M，为使成实像时M为正，将像面坐标相对于物面坐标反演，使倒像的影响不反映在M上。于是M可表示成：iioddfMdf即有i(1)dMf。此系统的光瞳函数是直径为D的圆形孔径，其截止频率与物像空间截止频率oc的关系为：coci12DdM。即有：oci=22(1)MDMDdMf为求得当oc取最大值时的放大倍数M，将oc对M求导出并令其为零得：oc2d10d2(1)DMfM因此，只有当放大倍数M为无穷大时，系统才有最大的空间截止频率，此截止频率为：ocmaxlim212MDMDfMf此时，物置于透镜前焦面，像在像方无穷远，在物空间的通频带为：fDfD22这样，对单透镜系统，其截止频率为：fDc4对于右图的双透镜成像系统，因其孔径光阑置于频谱面上，故入瞳和出瞳分别在物方和2像方无限远处。又由于入瞳、孔径光阑与出瞳三者互为共轭，故对于这种放大率为1的系统，能通过孔径光阑的最高空间频率，也必定能通过入瞳和出瞳。换言之，系统的截止频率可通过孔径光阑的尺寸来计算。为保证右图物面上每一面元发出的低于某一空间频率的平面波，都毫无阻挡地通过光成像系统，则要求相应的截止频率为：c/22llff当cc时，可以得到：/2lD6.2一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为：01()(1cos2π)2ootxx放在下图所示成像系统的物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波传播方向在oxz平面内，与z轴夹角为。透镜焦距为f，孔径为l。(1)求物体透射光场的频谱。(2)使像平面出现条纹的最大等于多少？求此时像面强度分布。(3)若采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与0时截止频率比较，结论如何？解：(1)倾斜单色平面光波入射，在物平面上产生的入射光场为isineokxA，则物平面的透射光场为：00isinisin0sinsini2πi2πisin1(,)e(,)e(1cos2π)211eee222oooookxkxoooookxkxkxUxyAtxyAxAAA其频谱为：300(,){(,)}sin1sin1sin,,,222ooUFUxyA其频谱图如下。由图中可见，物体有三个频率分量，与垂直入射(0)的情况相比，当光波以角倾斜入射时，物频谱沿轴整体平移了sin/距离。(2)物的空间频谱仅包含3个频谱分量，其中每一个频谱分量代表某一特定方向的平面波，如果只让一个频谱分量通过系统，像面是不会有强度变化的。欲使像面有强度变化，即有条纹，至少要有两频谱分量通过系统。对于相干成像系统，其截止频率为：24cilldf式中：l为透镜直径；2idf。因此选择最低的两个频谱分量使其在系统通频带内，角才能取尽量大的值。于是要求：0sin4sin44clfllff用相干光照明-上列两式联解得：sin44llfff所以maxarcsin4lf当取该最大值时，只有两个频率分量通过系统，像的频谱为：0sin1sin(,),,22AU4对应的复振幅分布为：0sinsini2πi2π11(,){(,)}ee22iixxiiiAUxyFU则强度分布为：2205(,)(,)cos(2π)44iiiiiiAIxyUxyx(3)当取该最大值时，要求光栅频率满足如下关系0sin44llff即要求：02lf。或者说：maxmax()2lf当0时，要求光栅频率我大于系统截止频率，即要求：04lf。或者说：max(0)4lf可见，当采用max倾斜角的平面波照明时，系统的允许通过物光栅的频率比垂直照明时提高一倍。6.3下图所示相干成像系统中，物体复振幅透过率为：1(,)[1cos()]2abtxyxy为了使像面能得到它的像，问：(1)若采用圆开光阑，直径应大于多少？(2)若采用矩形光阑，各边边长就大于多少？解：物体的频谱为：111(,){(,)}(,)(,)(,)244ababTFtxy其频谱如下图所示。5物体有三个频谱分量，在谱面上的位置分别(0,0),(,),(,)abab。要使像面上得到物体的像，则必段要求这三个频率分量都通过系统，即系统的截止频率要都要大于这三个频率分量中任何一个分量的频率。(1)若采用圆形光阑，假设光阑直径为D，系统的截止频率为：02Df根据上面的分析，要使像平面得到物体的像，必须要求220ab即要注222abDf(2)若采用矩形光阑，假设其大小为ab，则系统截止频率为：00,22xyabff根据上面的分析，要使像平面得到物体的像，必须要求00,xayb即要求2,2abafbf66.4当点扩散函数(,)Iiihxy成点对称时，证明OTF为实函数，即等于调制传递函数。证明：已知点扩散函数(,)Iiihxy是实偶函数：i2π()(,)(,)edd(,)cos2π(ddi(,)sin2π(ddxyIIiiiiIiiiiIiiiiHhxyxyhxyxyxyhxyxyxy由于(,)Iiihxy是偶函数，正弦函数是奇函数，两者乘积也为奇函数，上式第二项积分为零，所以，(,)(,)cos2π(ddIIiiiiHhxyxyxy当(,)Iiihxy是实函数，(,)IH也是实函数。归一化的光学传递函数等于调制传递函数：(,)(,)(0,0)IIHHH6.5一个非相干成像系统，出瞳由两个正方形孔构成。如下图所示，正方形孔的边长1acm，两孔中心距3bcm。若光波波长0.5μm，出瞳与像面距离10idcm，求系统的OTF，画出沿和轴的截面图。解：假定这是一个衍射受限的非相干成像系统。根据OTF的几何解释，光学传递函数为：0(,)(,)SHS式中：0S是光瞳面积；(,)S是中心位于,22iidd和,22iidd的两个平移光瞳的重叠面积。7在轴上，0。左下图表示中心在0,2id和0,2id的两个错开的光瞳。重叠面积和总面积0S同时增加一倍，两者比值保持不变。因而(0,)H与单个正方形孔情况下沿轴的OTF相同，即有0(0,)tri2H式中：311010210mm200mm1000.5iad。其截面图如右下图所示。在轴上，0，根据重叠情况的变换，可分为四个区间进行讨论：如左下图所示，当0||ida或00||2id时，此时重叠区面积与总面积的比值与单个孔的情况相同，因此0(,0)tri2H如右下图所示，当0||idba，因为3b，即002||4时，两个孔相互错开，重叠面积为零，因此(,0)0H如左下图所示，当||ibadba或即004||8时，只有一个孔发生重叠，但总面积是两个孔的面积，因此OTF的大小只是第一种情况的一半，即8006(,0)tri2H如右下图所示，当||idba或0||8时，光瞳完全错开，无重叠部分，即：0(,0)tri2H其沿轴的光学传递函数截面图如下图所示。6.6物体的复振幅透过率可以用矩形波表示，它的基频是50/mm。通过圆形光瞳的透镜成像。透镜焦距为10cm，物距为20cm，照明波长为0.6μm。为了使像面出现条纹，在相干照明和非相干照明的条件下，分别确定透镜的最小直径应为多少？解：要使像面上出现条纹，则必须至少使矩形波的基频分量通过系统，而矩形波的基频分量的频率为150mm，因此要求系统的截止频率至少要大于这个基频值。已知透镜焦距为10cmf，物距20cmd，则根据透镜成像关系111ifdd可确定像距id，代入上述数值，有：20cmid对于相干照明系统，系统截止频率为：902iDd式中，D为透镜直径；0.6μm。根据以上分析知，要使像面上出现条纹，则要求502iDd，即10012mmiDd对于非相干光照明，系统的频率分析是相对强度而言的。但由于物体的振幅透过率为矩形波，强度透过率是振幅透过率的平方，因此同样是一个矩形波，基频还是150mm。非相干成像系统截止频率为0iDd式中，D为透镜直径；0.6μm。根据以上分析知，要使像面上出现条纹，则要求50iDd，即506mmiDd6.7若余弦光栅的透过率为：(,)cos2πtxyabx式中，0ab。用相干成像系统对它成像。设光栅频率足够低，可以通过系统。忽略放大和系统总体衰减，并不考虑像差。求像面的强度分布，并证明同样的强度分布出现在无穷多个离焦的像平面上。解：设用单位振幅单色平面波垂直照明时，透过物体的光场复振幅分布为：(,)(,)cos2πUxytxyabx则透过物的空间频率f足够低，可以通过系统，且忽略放大和总体衰减，又不考虑像差，故像平面上复振幅分布为：(,)(,)cos2πiiUxytxyabx这样，可得到强度分布为：2222222(,)|(,)|cos(2π)2cos(2π)2cos(2π)cos(4π)22iiiiIxyUxyabxabxbbaabxx10当观察平面选在未聚焦的像平面，即某一离焦平面时，它的复振幅分面可以理解为理想像平面上的光场继续传播到该离焦平面上的结果。假设该离平面距离理想像平面为z，则根据菲涅耳衍射在频域的关系，可得离焦平面上的复振幅分布频谱(,)(,)(,)iGGH式中：iG和H分别是理想像面的光场复振幅的频谱及菲涅耳衍射的传递函数，且有(,)(,)(,)(,)22ibbGa22iiπ()(,)eekzzH则有：2iiπ(,)e(,)e(,)(,)222kzzbbbGa可得么离焦平面复振幅表达式为：2iiπ(,)e[ecos(2π)]kzziiiiUxyabx因此可知，当2π2π(0,1,2,)znn时2iπe1z离焦面平面的复振幅分布为：i(,)ecos(2π)kziiiiUxyabfx其强度为22222(,)|(,)|cos(2π)cos(2π)2cos(2π)iiiiiiiiiIxyUxyabfxabxabx这与理想像平面上的强度分布相同，可见，当2π2π,0,1,2,znn时，可在这些离焦平面上出现同样的强度分布，也就是说有无穷多个像面，而这些离焦像面关于理想像对称分布。这一性质类似于泰伯效应，仅适用于周期性理想成像对离焦像的分析6.8物体的复幅透过率为1()cos(2π/)txxb通过光学系统成像。系统的出瞳是半径为a