【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)课件：第10章 第7节 二项式定理(理)

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教B版·高考总复习第十章统计与概率走向高考·高考总复习·人教B版·数学统计与概率第十章第十章统计与概率走向高考·高考总复习·人教B版·数学第七节二项式定理(理)第十章第十章统计与概率走向高考·高考总复习·人教B版·数学典例探究学案2课时作业3自主预习学案1第十章统计与概率走向高考·高考总复习·人教B版·数学自主预习学案第十章统计与概率走向高考·高考总复习·人教B版·数学1.能用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.第十章统计与概率走向高考·高考总复习·人教B版·数学一般以客观题形式命题，考查二项展开式的通项，二项式系数，展开式的系数等，属容易题第十章统计与概率走向高考·高考总复习·人教B版·数学1.二项式定理(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cn－1nabn－1＋Cnnbn(n∈N＋)，叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其通项公式为Tr＋1＝________.(a－b)n的展开式第r＋1项Tr＋1＝____________.Crnan－rbr(－1)r·Crnan－rbr第十章统计与概率走向高考·高考总复习·人教B版·数学2．二项式系数的性质(1)对称性：C0n＝Cnn，C1n＝Cn－1n，C2n＝Cn－2n，…，Crn＝Cn－rn.(2)增减性与最大值：二项式系数Ckn，当kn＋12时，二项式系数是递____的；当kn＋12时，二项式系数是递______的．当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大．当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大．(3)C0n＋C1n＋C2n＋…＋Crn＋…＋Cnn＝______.(4)C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝________.增减2n2n－1第十章统计与概率走向高考·高考总复习·人教B版·数学1.(2014·湖南理)(12x－2y)5的展开式中x2y3的系数是()A．－20B．－5C．5D．20[答案]A[解析]展开式的通项为Tr＋1＝Cr5(12x)5－r·(－2y)r＝(12)5－r·(－2)rCr5x5－ryr.当r＝3时为T4＝(12)2(－2)3C35x2y3＝－20x2y3，故选A.第十章统计与概率走向高考·高考总复习·人教B版·数学2．(2013·蚌埠模拟)在(x＋13x)24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有()A．3项B．4项C．5项D．6项[答案]C[解析]Tr＋1＝Cr24(x)24－r(13x)r＝Cr24x12－5r6，故当r＝0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项．第十章统计与概率走向高考·高考总复习·人教B版·数学3．(2015·洛阳市期中)(x＋ax)(2x－1x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为()A．－40B．－20C．20D．40[答案]D第十章统计与概率走向高考·高考总复习·人教B版·数学[解析]令f(x)＝(x＋ax)(2x－1x)5，由条件知，f(1)＝(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1，∴f(x)＝(x＋1x)(2x－1x)5，(2x－1x)5的展开式的通项为Tr＋1＝Cr5(2x)5－r·(－1x)r＝(－1)r·25－rCr5x5－2r，令5－2r＝－1得，r＝3，令5－2r＝1得r＝2，∴展开式的常数项为(－1)325－3C35＋(－1)2·25－2C25＝40.第十章统计与概率走向高考·高考总复习·人教B版·数学4．(2014·山东理)若(ax2＋bx)6的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________．[答案]2[解析]本题考查二项式定理，均值不等式．Tr＋1＝Cr6·(ax2)6－r·(bx)r＝Cr6a6－rbrx12－3r，令12－3r＝3，∴r＝3，∴C36a3b3＝20，即ab＝1.∴a2＋b2≥2ab＝2.第十章统计与概率走向高考·高考总复习·人教B版·数学典例探究学案第十章统计与概率走向高考·高考总复习·人教B版·数学求二项展开式的指定项或其系数(2013·天津理，10)(x－1x)6的二项展开式中的常数项为________．[答案]15[解析]二项展开式的通项为Tr＋1＝Cr6x6－r(－1x)r＝(－1)rCr6x6－32r，令6－32r＝0得r＝4，所以二项展开式的常数项为T5＝(－1)4C46＝15.第十章统计与概率走向高考·高考总复习·人教B版·数学[方法总结]1.运用二项式定理一定要牢记通项，注意(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第k项是不同的．2．求二项式展开式中的指定项一般用通项公式，化简通项公式后令字母的指数符合题意要求，然后解方程或不等式，如常数项指数为零，有理项指数为整数，xk的项直接令指数为k等等，还要注意隐含条件．3．含两个二项式时，应从两个二项式各自展开式考虑用多项式乘法产生指定项．第十章统计与概率走向高考·高考总复习·人教B版·数学(2014·浙江理)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝()A．45B．60C．120D．210[答案]C[解析]本题考查组合应用及二项式定理．由条件得f(m，n)＝Cm6·Cn4，∴f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝C36C04＋C26C14＋C16C24＋C06C34＝20＋60＋36＋4＝120，选C.第十章统计与概率走向高考·高考总复习·人教B版·数学[点评]求二项展开式中的指定项或特殊项是高考命题的主要形式，解题时要注意n与k的取值范围．(1)求展开式的常数项①(2013·山东济南一模)二项式(x2－13x)8的展开式中的常数项是()A．28B．－7C．7D．－28第十章统计与概率走向高考·高考总复习·人教B版·数学[答案]C[解析]二项式(x2－13x)8展开式中的通项为Tr＋1＝Cr8(x2)8－r(－13x)r＝(－1)rCr82r－8x8－4r3，令8－4r3＝0得r＝6，∴常数项是(－1)6C6822＝7，故选C.第十章统计与概率走向高考·高考总复习·人教B版·数学(2)求展开式中含变量的某次乘方项(或其系数)②(2014·天津河西一模)在二项式(x2－1x)5的展开式中，含x4的项的系数是()A．－10B．10C．－5D．5[答案]B[解析]二项展开式的通项为Tr＋1＝Cr5(x2)5－r·(－1x)r＝(－1)rCr5x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2，则x4的项的系数是C25(－1)2＝10.故选B.第十章统计与概率走向高考·高考总复习·人教B版·数学(3)由展开式中含满足某条件的项，求参数的值．③(2014·成都七中一诊)二项式(1x－xx)n的展开式中含有x2项，则n可能的取值是()A．5B．6C．7D．8[答案]D[解析]展开式的通项为Tk＋1＝Ckn(1x)n－k(－xx)k＝(－1)kCknx5k2－n，由5k2－n＝2得n＝5k2－2.k＝4时，n＝8，选D.第十章统计与概率走向高考·高考总复习·人教B版·数学(4)两个二项式乘积的展开式．④(2013·大纲全国理，7)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是()A．56B．84C．112D．168[答案]D[解析]因为(1＋x)8的展开式中x2的系数为C28，(1＋y)4的展开式中y2的系数为C24，所以x2y2的系数为C28C24＝168.故选D.第十章统计与概率走向高考·高考总复习·人教B版·数学二项式系数的性质(2015·甘肃会宁二中模拟)已知二项式(x＋a3x)n的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为()A．1B．±1C．2D．±2第十章统计与概率走向高考·高考总复习·人教B版·数学[答案]C[分析]由二项式系数和可求得n的值，再由常数项为80可求出a的值．[解析]由题意可知二项式系数和为2n＝32，n＝5，二项展开式的通项为Tr＋1＝Cr5(x)5－r(a3x)r＝arCr5x15－5r6，令15－5r6＝0，得r＝3，所以T4＝a3C35＝80，解得a＝2.第十章统计与概率走向高考·高考总复习·人教B版·数学[方法总结]1.在二项式展开式中，各项二项式系数的和为2n，奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等，都等于2n－1.2．二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指Crn，而后是字母外的部分，前者只与n和r有关，恒为正，后者还与字母的系数有关，可正可负．3．二项式系数的最大值、最小值要根据n的奇偶性确定，同时注意二项式系数最大时该项的系数不一定最大，还要取决于字母的系数．第十章统计与概率走向高考·高考总复习·人教B版·数学(2014·豫东、豫北名校联考)已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则ba＝()A.1285B．2567C.5125D．1287[答案]A[解析](1＋2x)8的展开式中二项式系数的最大值为C48，系数的最大值为C5825，∴a＝C48，b＝C5825，∴ba＝C5825C48＝C3825C48＝1285.第十章统计与概率走向高考·高考总复习·人教B版·数学[点评]与二项式系数或二项式展开式中某项的系数有关的问题．(1)与二项式系数和有关的问题．①(2014·山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中联考)已知(1－2x)n展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则(1－2x)n(1＋x)的展开式中含x2项的系数为()A．71B．70C．21D．49第十章统计与概率走向高考·高考总复习·人教B版·数学[答案]B[解析]因为奇数项的二项式系数之和为2n－1，所以2n－1＝64，n＝7，因此(1－2x)n(1＋x)展开式中的含x2项的系数为C27(－2)2＋C17(－2)＝70，故选B.第十章统计与概率走向高考·高考总复习·人教B版·数学(2)二项式系数最大问题②(2014·上海嘉定区期末)若(x＋2x2)n的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是()A．180B．120C．90D．45[答案]A[解析]只有第六项的二项式系数最大，可知n＝10，于是展开式通项为Tr＋1＝Cr10(x)10－r(2x2)r＝2rCr10x5－5r2，令5－5r2＝0，得r＝2，所以常数项为22C210＝180，故选A.(3)展开式中各项系数的和的问题.第十章统计与概率走向高考·高考总复习·人教B版·数学赋值法的应用(2014·临沂模拟)已知(x－ax)8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是()A．28B．38C．1或38D．1或28[答案]C[分析]令Tr＋1项中x的指数为0可求得常数a的值；在二项展开式中当x＝1时即得各项系数的和．第十章统计与概率走向高考·高考总复习·人教B版·数学[解析]Tr＋1＝Cr8x8－r(－ax)r＝(－a)r·Cr8·x8－2r，令8－2r＝0得r＝4，由条件知，a4C48＝1120，∴a＝±2，令x＝1得展开式各项系数的和为1或38.[方法总结]1.二项式定理是一个恒等式，因此可用赋值法来解决某些问题．一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f1＋f－12，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f1－f－12.2．三项式可合并其中两项后用二项式定理．第十章统计与概率走向高考·高考总复习·人教B版·数学(2013·泰安模拟)若(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为()A．2B．－1C．－2D．1[答案]C[解析]令x＋2＝1，则x＝－1，∴a0＋a1＋a2＋…＋a11＝(1＋1)×(－2＋1)9＝－2，故选C.第十章统计与概率走