异面直线所成角练习

试卷第1页，总14页1．如图，在正方体1111ABCDABCD-中，异面直线1AD与1BC所成的角为A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】D【解析】试题分析：如图所示，连接B1C，则B1C∥A1D，B1C⊥BC1，∴A1D⊥BC1，∴A1D与BC1所成的角为90°．故选：D．考点：异面直线及其所成的角2．已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则异面直线AC1与A1D所成角的余弦值（）A．63B．147C．155D．105【答案】B【解析】试题分析：设向量1,,ABaADbAAc，则11,ACabcADbc，112,7ACAD，11111114cos,7ACADACADACAD。考点：空间向量的集合运算及数量积运算。3．正方体1111ABCDABCD中，,,,EFGH分别是1AA,AB,1BB,11BC的中点，则直线EF与GH所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°试卷第2页，总14页【答案】C【解析】试题分析：由三角形中位线可知11,EFABGHBC，所以异面直线所成角为11ABC，大小为60°考点：异面直线所成角4．在正方体1111ABCDABCD中，E是11BC的中点，则异面直线1DC与BE所成角的余弦值为（）A．255B．105C．510D．255【答案】B【解析】试题分析：取BC中点F，连结1,FDFC，则1DCF为异面直线所成角，设边长为2，115,8,5CFDCDF110cos5DCF考点：异面直线所成角5．如图，正四棱柱ABCDABCD中（底面是正方形，侧棱垂直于底面），3AAAB，则异面直线AB与AD所成角的余弦值为（）B'A'C'CDABD'A、910B、45C、710D、35【答案】A【解析】试题分析：连结'BC，异面直线所成角为''ABC，设1AB,在''ABC中''''2,10ACABBC''9cos10ABC考点：异面直线所成角6．点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，ABPA，则PB与AC所成的角是A．60B．90C．45D．30【答案】A【解析】试题分析：作出空间几何体如下图所示：设正方形的边长为2，试卷第3页，总14页．所以PB与AC所成的角就是FEA，由题意可知：2AFAEEF，所以60FEA．考点：异面直线的位置关系．7．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，M是棱CD的中点，则MA1与1DC所成角的余弦值为（）A.62B.62C.1010D.1010【答案】A【解析】试题分析：以D为原点，分别以1,,DADCDD为,,xyz轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz-，由棱长为1，则111(0,0,0),(1,0,1),(0,,0),(0,1,1)2DAMC,所以111(1,,1),2AMDC=--(0,1,1)=,故11cos,AMDC=101223622+-=-，故选A.考点：空间向量所成角的余弦值.8．在正方体1111DCBAABCD中，FE、分别为BCAB、中点，则异面直线EF与1AB所成角的余弦值为试卷第4页，总14页A．23B．33C．22D．21【答案】D【解析】试题分析：联结AC、1BC则1BAC即为所成的角。1BAC为等边三角形，所以11coscos602BAC考点：异面直线所成的角9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所的θ角的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】如图，连结CD'，则异面直线CP与BA'所成的角θ等于∠D'CP，由图可知，当P点与A点重合时，θ＝3当P点无限接近D'点时，θ趋近于0.由于是异面直线，故θ≠0.选D考点：空间几何体，异面直线所成角10．如图，正方体1111ABCDABCD，则下列四个命题：①P在直线1BC上运动时，三棱锥1ADPC的体积不变；②P在直线1BC上运动时，直线AP与平面1ACD所成角的大小不变；③P在直线1BC上运动时，二面角1PADC的大小不变；④M是平面1111ABCD上到点D和1C距离相等的点，则M点的轨迹是过1D点的直线其中真命题的个数是P试卷第5页，总14页A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】试题分析：①∵1BC∥平面1AD，∴1BC∥上任意一点到平面CAD1的距离相等，所以体积不变，正确．②P在直线1BC上运动时，直线AB与平面CAD1所成角和直线1AC与平面CAD1所成角不相等，所以不正确．③当P在直线1BC上运动时，AP的轨迹是平面1PAD，即二面角CADP1的大小不受影响，所以正确．④∵M是平面1111DCBA上到点D和1C距离相等的点，∴M点的轨迹是一条与直线1DC平行的直线，而111CDDD，所以正确,故答案为：C.考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；与二面角有关的立体几何综合题.11．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成的角是（）A.0B.45C.60D.90【答案】D【解析】试题分析：解：取1AA的中点E，连接EN，BE交MB1于点O，试卷第6页，总14页则BCEN//，且BCEN四边形BCNE是平行四边形CNBE//BOM就是异面直线MB1与CN所成的角，而ABERtMBBRt1MBBABE1，AEBBMB1，090BOM．故选D．考点：异面直线所成角12．如图,直四棱柱1111-ABCDABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱长1=2AA,则异面直线11AB与1BD的夹角大小等于【答案】60°【解析】试题分析：由直四棱柱1111-ABCDABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱长1=2AA可得12,BD由11ABAB知1ABD就是异面直线11AB与1BD的夹角,且111cos,2ABABDBD所以1ABD=60°,即异面直线11AB与1BD的夹角大小等于试卷第7页，总14页60°．考点：1正四棱柱；2异面直线所成角13．如果直线AB与平面相交于B，且与内过点B的三条直线BC，BD，BE所成的角相同，则直线AB与CD所成的角=_________.【答案】090【解析】试题分析：因为，直线AB与平面相交于B，且与内过点B的三条直线,,BCBDBE所成的角相同，所以，直线AB在平面内的射影应是,BCBD夹角的平分线，同时也应是,BDBE夹角及,BCBE的平分线，因此，直线AB在平面内的射影是点B，即AB，而CD，所以ABCD，直线AB与CD所成的角为090考点：直线与直线、直线与平面的位置关系.14．平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为60°，则1DB和11CA所成角大小为____________.【答案】6arccos6【解析】试题分析：由于ADABCAADAAABDB1111,，而111ACDBADABABADABADAAAB21)(][ABADADAAABAA112AD4，同理求1122121211212AAABADAAABADAAABDBADAAADAB1122=8,1DB22，同理：11AC32，设1DB和11CA所成角大小为，则6632224,coscos111111111ACDBACDBACDB，66arccos.考点：1.向量的加法和减法；2.向量的数量积；3.向量的模；4.异面直线所成的角；15．已知四面体ABCD中，32DADBDC，且,,DADBDC两两互相垂直，点O是ABC的中心，将DAO绕直线DO旋转一周，则在旋转过程中，直线DA与直线BC所成角的余弦值的最大值是____试卷第8页，总14页【答案】63.【解析】试题分析：当BCOA//时，直线DA与直线BC所成角最小，对应的余弦值最大，即OADcos；易知：6BCACAB,32336OA,362332cosDAOAOAD.考点：异面直线所成的角.16．如图所示，1111DCBAABCD为正方体，给出以下五个结论：①//BD平面11DCB；②1AC⊥平面11DCB；③1AC与底面ABCD所成角的正切值是2；④二面角111CDBC的正切值是2；⑤过点1A且与异面直线AD和1CB均成70°角的直线有2条．其中，所有正确结论的序号为________．【答案】①②④【解析】试题分析：如下图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由于BD∥B1D1，由直线和平面平行的判定定理可得BD∥平面CB1D1，故①正确．由正方体的性质可得B1D1⊥A1C1，CC1⊥B1D1，故B1D1⊥平面ACC1A1，故B1D1⊥AC1．同理可得B1C⊥AC1．再根据直线和平面垂直的判定定理可得，AC1⊥平面CB1D1，故②正确．AC1与底面ABCD所成角的正切值为11222CCAC，故③不正确．取B1D1的中点M，则∠CMC1即为二面角C﹣B1D1﹣C1的平面角，Rt△CMC1中，tan∠CMC1=111222CCCM，故④正确．试卷第9页，总14页如下图，由于异面直线AD与CB1成45°的二面角，过A1作MN∥AD、PQ∥CB1，设MN与PQ确定平面α，∠PA1M=45°，过A1在面α上方作射线A1H，则满足与MN、PQ成70°的射线A1H有4条：满足∠MA1H=∠PA1H=70°的有一条，满足∠PA1H=∠NA1H=70°的有一条，满足∠NA1H=∠QA1H=70°的有一条，满足QA1H=∠MA1H=70°的有一条．故满足与MN、PQ成70°的直线有4条，故过点A1与异面直线AD与CB1成70°角的直线有4条，故⑤不正确．故答案为①②④．考点：二面角的定义及求法；直线和平面平行的判定；直线和平面垂直的判定；异面直线的判定.17．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中点。设GF，C1E与AB所成的分别为,，则【答案】2【解析】试题分析：取正方形B1C1CB的中点为点O，连结,1OC,OE取BC的中点为点A，连结,GHFH，通过分析可知//1OC,GH//OEFH得平面//1EOC平面,GFH设正方形边长为2，在GFH中，,2GH1FH，3GF，则,31cos,32sin在EOC1中，试卷第10页，总14页,2OE,6!EC21OC，则,3162sin,3262cos所以2。考点：直线与平面所成角，面面平行问题。18．如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是【答案】3【解析】试题分析：如图所示，建立空间直角坐标系．由于AB=BC=AA1，不妨取AB=2，则E（0，1，0），F（0，0，1），C1（2，0，2）．∴EF=（0，﹣1，1），1BC=（2，0，2）．∴11121cos,2||||28EFBCEFBCEFBC．∴异面直线EF和BC1的夹角为3．故答案为:3．考点：用空间向量求直线间的夹角、距离；异面直线及其所成的角．19．如图，在直三棱柱111ABCABC中，0190,2,1ACBAAACBC，则异面直线1AB与AC所成角的余弦值是____________．【答案】66试卷第11页，总14页【解析】试题分析：由于AC∥11AC，所以11BAC（或其补角）就是所求异面直线所成的角，在11BAC中，16AB，111AC，15BC，116156cos6261BA