89抛物线及其标准方程

抛物线及其标准方程复习：椭圆、双曲线的第二定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹.·MFl0＜e＜1lF·Me＞1·FMl·e=1当e＞1时，是双曲线。当e=1时，它又是什么曲线？当0＜e＜1时，是椭圆C问题探究：当e=1时，即|MF|=|MH|，点M的轨迹是什么？探究？可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图)我们把这样的一条曲线叫做抛物线.M·Fl·e=1HCM·Fl·e=1H在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点,直线l叫抛物线的准线d为M到l的距离准线焦点d一、抛物线的定义:即:若1MFd,则点M的轨迹是抛物线.那么如何建立坐标系,使抛物线的方程更简单,其标准方程形式怎样?CM·Fl·e=1H二、标准方程的推导如何建立坐标系呢？思考：抛物线是轴对称图形吗？xy0xy01.建立坐标系2.设动点坐标,相关点的坐标.3.列方程4.化简,整理l解：以过F且垂直于l的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy.22()||22ppxyx两边平方,整理得xKyoM(x,y)F二、标准方程的推导设(,)Mxy,FKp,则焦点(,0)2pF,准线:2plx依题意得22(0)ypxp这就是所求的轨迹方程.三、标准方程把方程y2=2px(p＞0)叫做抛物线的标准方程.其中p为正常数,表示焦点在x轴正半轴上.且p的几何意义是:焦点到准线的距离焦点坐标是(,,0)2p2px准线方程为:想一想:坐标系的建立还有没有其它方案也会使抛物线方程的形式简单？﹒yxo方案(1)﹒yxo方案(2)﹒yxo方案(3)﹒yxo方案(4)图形标准方程焦点坐标准线方程四种抛物线的标准方程对比pxy220ppxy220ppyx220ppyx220p0,2p2px0,2p2px2,0p2py2,0p2py观察上表:抛物线的标准方程的四种不同形式与图形、焦点坐标、准线方程的对应关系是有规律的，这个规律是什么？第一:一次项的变量如为x(或y),则x轴(或y轴)为抛物线的对称轴,焦点就在对称轴上.第二:一次项的系数的正负决定了开口方向.一次变量定焦点开口方向看正负例1(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程;(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准方程.根据标准方程的知识,我们可以确定抛物线的焦点位置及准线方程.解:(1)因为p=3，所以焦点坐标是,准线方程是3(,0)232x,所以所求抛物线的标准方程是2,2p28xy(2)因为焦点在y轴的负半轴上，且4p例2.求过点A(-3,2)的抛物线的标准方程.．AOyx解:(1)当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时，把A(-3,2)代入x2=2py，得p=94(2)当焦点在x轴的负半轴上时，把A(-3,2)代入y2=-2px，得p=23∴抛物线的标准方程为x2=y或y2=x。9243思考:M是抛物线y2=2px（p＞0）上一点，若点M的横坐标为x0，则点M到焦点的距离是————————————x0+—2pOyx．FM．这就是抛物线的焦半径公式!例3探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分（如图），光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆的直径为4.8cm，灯深0.5cm，求抛物线的标准方程和焦点坐标．1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F（3，0）；（2）准线方程是x=；41（3）焦点到准线的距离是2。y2=12xy2=xy2=4x、y2=-4x、x2=4y或x2=-4y四、课堂练习：焦点坐标准线方程（1)（2)（3)（4)（5，0）x=-51y=-—128x=—5（-—，0）58（0，-2）y=22、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：（1）y2=20x（2）（3）2y2+5x=0（4）x2+8y=0122YX（0，）2五、小结:1.抛物线的定义:抛物线的定义反映了抛物线的本质，灵活应用定义往往可以化繁为简、化难为易，且思路清晰，解法简捷.2.抛物线的标准方程有四种不同的形式:要抓住标准方程的特点,注意与焦点位置,开口方向的对应关系;准线方程焦点坐标标准方程焦点位置图形3.不同位置的抛物线x轴的正方向x轴的负方向y轴的正方向y轴的负方向y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py)0,2(pF)0,2pF(-)2,0(pF)2,0(pF-2=px-2=px2=py2=py-xyOFlxyOFlxyOFlxyOFl例4、斜率为1的直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于A、B两点，求线段AB的长。xy42解：xyxy4122121xxkAB8436241212212xxxxk由抛物线方程知焦点F坐标为（1，0）所以直线AB方程为1xy0162xx