报童模型

缺货损失厌恶的报童问题摘要：报童问题是随机存贮管理的基本问题之一。在预期理论的框架下，我们通过引入损失厌恶参数，基于损失期望最小原则，对经典的报童问题进行了重新思考，给出了缺货损失厌恶的报童的最优定货量的计算公式及订购量与期望损失关系的数学模型.关键词：存贮管理；预期理论；期望损失1、引言1不确定性决策一直都是决策理论的基本问题之一。报童问题是随机存贮理论的基本模型之一，国内外关于报童问题的研究已有很长一段时间，人们也从不同的角度得出了一些令大家可接受且比较满意的方案和数学模型。如Tsanrt.al[1]提出报童问题的均值方差模型，并且得出如果报童可能最大化期望利润，使得利润方差受到限制，那么其最佳订购量总是小于经典报童问题的订购量；Schweitzer,Cachon[2]提出效用最大化的报童问题，且得出基于偏爱的不同而有不同的效用函数，（这些偏爱对报童的决策进程有着重要影响）；Eeckhoudtet.al[5]研究了风险及风险厌恶对报童问题的效应；Porteus[5]通过对敏感度的定量分析，研究了带风险效用和风险厌恶的报童问题；文平[6]关于损失厌恶的报童—预期理论下的报童问题新解一文，基于Kahneman和Tversky[6]于1979年提出的预期理论，也得出了比较理想的模型。然而他们中的多数都是从获利期望值最大和期望效用理论的角度来考察的。但是，报童问题也是一种经典的单阶段存贮问题。对报童而言，他每一天的报纸都有三种结果：报纸卖不完、不够卖、刚好够卖。这三种结局只有最后一种情况下才能达到报童的最大利润，因为报童的最大利润是订购量刚好和市场需求一致，即刚好够卖，也刚好卖完。在过去关于报童问题的种种模型中，都很少考虑到报纸不够卖，即脱销的情况，此时大多是以刚好满足市场需求的情况来处理。其实不然，对于这类薄利多销的报童问题而言，他们都不希望自己是做保本生意，都希望充分利用好市场，最大限度地获取利润。因而，当报纸不够卖的时候，报童也就失去了更多赚取利润的机会，这相对于报童来说也是一种损失，往往这种损失就相当于卖一份报纸所获得的利润。这种利润也往往大于报童因报纸卖不完时的处理价。因而，报童更不愿意看到这种情况发生。尤其在市场竞争极其激烈的今天，多数报童宁愿有部分报纸剩余，也不愿意每天过早的退出市场。一个简单的例子，两个报童A和B，市场共需要100份报纸，两个人平分的话一个可以卖50份，但是如果A预定了45份，B预定了60份，根据假设，A不够卖，而B剩余5份。假如报纸定价都是0.2元，每卖出一份赚0.3元，卖剩一份赔0.1元。那么对A而言，他赚了450.313.5元，而B赚了550.550.1600.216元，比A就多赚了2.5元。而显然在A的订购量不变的前提下，B的最佳订购量是55份，此时赚550.316.5元，比上述两种情况都要优。故导致报童损失有两种情况，一种是脱销而造成的损失，另一种是报纸有剩余造成的损失。这种类似报童的单阶段存贮问题中，不缺货的情况下还应考虑租赁仓库存储时的费用。此文为讨论方便，我们先不讨论这部分费用所造成的损失。由于市场需求的随机性，导致了报童在决策订购量时难以把握。当订购量大于销售量时，会因买不出去而导致损失；当订购量小于销售量时会因缺货而造成损失。因而只有当销售量等于需求量时，报童才不会有损失，此时的报童也获得了最大利润。那么，报童决策的核心就是如何去使得订购量接近于销售量，如何最大限度去减少自己的损失。本文同样在预期理论框架下基于损失最小的角度出发对报童问题进行了探讨，得到了报童问题的最优解。２、连续模型关于预期理论与期望效用理论的主要区别在[6-10]中已做了详细阐述。在不确定性决策中，我们通过上例可以看出：报童要想获得更多利润，要想抓住更多获取利润的机会，他们对缺货造成的损失反映更为强烈，因此，我们从最小损失的角度出发，寻求使得报童损失最小的方案，并且还建立了模型，最后做必要的比较静态分析。Kahneman和Tversky[6]给出了如下形式的效用函数。0()(),0xxvxxx，（1）其中参数描述损失厌恶程度，，由测试所的、所失的敏感。当1时，此时的()vx称为纯粹的损失厌恶效用函数，BenartziThaler(1995)[11]用如下的效用函数讨论单个博彩与多个博彩吸引的差异性。,0()2.5,0xxvxxx（2）Shalev(2000)[11]用下面的效用函数讨论博弈论的多重纳什均衡问题。,()(),xxrvxxrxxr（3）其中，为损失厌恶程度，r为参数点。但是这些效用函数都是针对收益期望值最大，报童对损失有较敏感的前提下提出的，在损失厌恶的报童—预期理论下的报童问题新解[5]中已有较好的结果，而本文中我们是从另一角度，即基于损失期望值最小、报童对缺货较敏感的角度来讨论的（为了不混淆，文中的损失厌恶是对于不确定性决策中人们对损失的反映要比所的的反映强烈，如果只说损失厌恶则是指因货卖不出去而造成的损失，而缺货损失厌恶是因脱销而造成的损失）。因而仿照上面的效用函数，我们定义了如下的损失效用函数：(),()[()],xxvxxx（4）设报童每天售出的报纸份数r是一个随机变量，其支撑集为(,)LM（即LrM，0,0LM）。为了后面好进行比较静态分析，且由于这类薄利多销的报童问题的数量都较大，故我们可以假设r为一连续型随机变量，其概率密度函数为()fx。设报童每售出一份报纸能赚k元，也即缺货时少卖一份就少赚k元，也就损失了k元。如果售剩报纸，每剩余一份就赔h元。若报童每天报纸的订购量为，则根据上面的损失函数可得报童的损失函数为：(),()[()],hrrvxkrr（5）由定义，报童要想不损失，不失去获利的机会，就只有是r，但由于市场的需求总是随机的，我们就无法去估计每天报纸的销售量，我们只能是通过经验以及每天报纸需求量的分布情况去预测。由报童的损失函数，我们有()()()()()MLShxfxdxkxfxdx（6）报童选择的报纸的订购量就是使得()S达到最小值的，故将()S对求导得：()()()MdSdLhfxdxkfxdx()(1())LLhfxdxkfxdx()()Lhkfxdxk（7）（式中当M，0L时我们有()1MLfxdx）令()0dSd，则有：()()Lhkfxdxk（8）容易验证，方程（8）的解存在，它的解就是缺货损失厌恶情况下的最佳订货量。当1时，（8）式变为()khkLfxdx（9）此时的定货量是按缺货损失期望值最小原则得到的定货量。假设这个定货量为*Q，即*Q满足（9）式。这个定货量为风险中性的定货量（SchweizerandCachon[13]），然而，损失厌恶存在的原因就是因为在报童问题中决策者有各种偏好。如有的人对所得较为敏感，宁愿缺货也不愿意看到货卖不出去，但有的人却宁愿有所剩余，也不愿意早早地退出市场。在上面示例中表明，后者更容易达到利益最大化。因而在一般情况下，报童对于因缺货造成的损失是较为厌恶的，即是大于1的，由于大于1，从（8）式很容易看出，是关于递增函数，因而（8）式的解必然大于*Q。当趋于无穷时，即报童是极端缺货损失厌恶的，他不希望自己放过获取利润的任何机会，即不希望自己因缺货发生任何损失，则报童的定货量将会趋于市场的最大需求量M，故对于带有损失厌恶的报童定货量介于*Q和M之间。3、离散模型每天卖出的报纸份数是一个随机变量，且其分布率为),3,2,1()(ipirpi，同理，我们用样用上面的缺货损失效用函数，则可建立模型：iiiipikpihS10)()()(（10）同理，求使得()S达到最小的值。由r是一随机变量，用差分法求解，令0)()1(SSS由（10）式有：iiiipQikpihS210)]1([)1()1(iiiipikpih10)1()1(1100)()(iiiiiiiipkpikphpih)1()(00iiiipkphSkpkhSii0)()(（这里，我们取ML,0）所以有：)()1()(SSS0)()()(0SkpkhSii故kpkhii0)(（11）由（9）和（11）式知，无论是连续还是离散情形，报童问题都遵循同样的表达式和相同的规律，下面，为了更好地做比较静态分析，我们只考虑连续情形。4、比较静态分析由上面分析可知，报童的最佳定货量应该满足（8）式，很显然，最佳定货量除了和报纸销售的概率分布有关外，还和,,kh有关，销售的概率分布可以根据过去的销售情况得出，一般认为每天销售的报纸份数r服从参数分别为2、2的贝塔分布。现在，假设销售的概率分布不变，来考察,,kh三个参数分别变化时对报童最佳定货量的影响。当然，既然,,kh对最佳定货量有影响，那么定货量就应该是关于,,kh的函数。首先考察的变化对的影响，（8）式两边同时对求导得：()()()ddLkfxdxhkfk整理得：()()()1hkdkdLfxdxf（10）由于()fx为报纸的销售密度函数，所以()1Lfxdx，,,kh都大于零，故由（10）式可知0dd。即报纸定货量关于缺货损失厌恶系数单调递增，越大，定货量也越大。也就是说，随着损失厌恶程度的增加，在其它条件不变的前提下，报童的定货量将增加。当报童的损失厌恶系数从1向无穷变化时，报童的最佳定货量将从*Q增加到M。其次考察k的变化对报纸定货量的影响，同样（8）式两端对k求导得：()()()ddkLfxdxhkf整理得：()()()1hkddkLfxdxf（11）同理，由于()1Lfxdx，,,kh都大于零可知，0ddk，这是很显然的，每份报纸赚的越多，报童越不愿意看到因缺货而造成损失，更不愿意放弃获取高额利润的机会。k越大，定货量也越大。这一点在（8）式中是很显然的，在其他因素不变的情况下，（8）式是关于k的增函数。当0k时，（8）式变为()0Lhfxdx（12）从上式很明显的看出，当k为0时，定货量一定为0。现实生活中确实存在着做亏本生意的例子，但出现那种结局绝不是决策者在事先就想这样的，继续把剩余的按亏本卖完也正是为了尽量减少损失。最后，我们考察h的变化对报纸定货量的影响。同样（8）式两端对h求导得：()()()0ddkLfxdxhkf（13）同理，由于()0fx可得，()0Lfxdx，且,,kh都大于零可知，0ddh.即报纸定货量是关于h的减函数，随着h的增加而减少，这从（9）式也是很明显看出的。每份报纸因卖不出去遭受的损失越大，当然定货量会有所减少，当然这是在k不变的前提下得出的，否则如果k相对h还是比较大，适当增大h不会对定货量造成影响。特别当0h时，由（8）式可知，()1Lfxdx，即报纸订购量达到极大值M，趋向于无穷大。5、反思从损失厌恶的比较静态分析告诉我们，过高的缺货损失厌恶程度不会使报童失去赚取利润的机会，但也将给报童造成另一方面的损失—因卖不完而造成的损失，如果所剩数量较大，将会大大地影响到报童的利润，长此下去，还将会影响到报童对缺货损失厌恶系数的确立，故报童必须掌握好缺货损失厌恶的度。当然，经过无数次博弈后，市场会处于一个稳态中，报童可以根据过去的经验和价格的变动来调节其缺货损失厌恶的度。当然，个人对缺货损失厌恶的度还受到同行业其他决策者对于