1.原函数与不定积分的概念

河海大学理学院《高等数学》高等数学(上)河海大学理学院《高等数学》第四章不定积分高等数学（上）河海大学理学院《高等数学》第一节原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念定义1如果在区间I内，可导函数的导函数为，即对，都有)(xF)(xfIx)()(xfxF或dxxfxdF)()(则就称为在区间I上的原函数.)(xF)(xf例如，故)0(1lnxxxxln是x1在区间),0(内的原函数.是求导数的逆运算河海大学理学院《高等数学》问题1：原函数的存在性问题:原函数)(xF函数)(xf求导是否存在定理1(原函数存在定理)定义在区间I上的连续函数在I上一定有原函数.)(xf即：连续函数必有原函数.问题2：原函数的惟一性问题:河海大学理学院《高等数学》定理2如果函数在区间I上的原函数存在,则它的任意两个不同的原函数只相差一个常数.若为的原函数，则的所有原函数的集合为：)(xF)(xf)(xfCCxF)()(xf证若和都是的原函数,)(xF)(xG)(xf)()()()(xGxFxGxF0)()(xfxfCxGxF)()(（为任意常数）C河海大学理学院《高等数学》定义2若为在区间I上的原函数，则称)(xF)(xfCxF)(（为任意常数）C为在I上的不定积分，记为)(xfCxFdxxf)()(积分号被积函数被积表达式称为积分变量x河海大学理学院《高等数学》例1求.dxx5解,656xxCxdxx665例2求.dxx211解211arctanxxCxdxxarctan112河海大学理学院《高等数学》例3设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为，)(xfy根据题意知xxf2)(由曲线通过点（1，2），故有.1C因而，所求曲线方程为12xyCxxdxxf22)(所以河海大学理学院《高等数学》函数)(xf的原函数的图形称为)(xf的积分曲线.注（１）Ｃ的几何意义：考虑曲线ｙ＝ｆ（ｘ），使得．则ｆ（ｘ）＝ｘ２＋Ｃ．xxf2)(这是一簇由一条积分曲线ｙ＝ｘ２沿纵轴上下平移Ｃ得到的．在横坐标相同的点处的切线是平行的．河海大学理学院《高等数学》(2)由不定积分的定义，可知)()(xfdxxfdxddxxfdxxfd)(])([CxFdxxF)()(CxFxdF)()(结论微分运算与求不定积分的运算是互逆的.例如dxedxd①x2dxedxd②x)(2dxe③dx2河海大学理学院《高等数学》(1)kdxCkx(2)dxxCx111(3)xdxCxln二、基本积分表(5)CaadxaxxlnCedxexx)4(河海大学理学院《高等数学》xdxcos)6(;sinCxxdxsin)7(;cosCxxdx2cos)8(xdx2sec;tanCxxdx2sin)9(xdx2csc;cotCxxdxxtansec)10(;secCxxdxxcotcsc)11(;cscCx河海大学理学院《高等数学》(12)21xdxCxarcsinCxarccos或(13)21xdxCxarctanCxarccot或河海大学理学院《高等数学》例4求积分.dxxx2解dxxx2dxx25Cx125125Cx2772河海大学理学院《高等数学》三、不定积分的性质dxxgxf)]()([)1(;)()(dxxgdxxf证dxxgdxxf)()(dxxgdxxf)()().()(xgxf等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）河海大学理学院《高等数学》dxxkf)()2(.)(dxxfk（k是常数，)0k注:(1)求积分是利用积分表和积分性质来试,要变形,技巧大.设法变形为积分表中函数的线性组合形式,以求出积分的方法称为直接积分法.(2)不是所有函数都肯定能积分出来.初等函数初等函数)(?初等函数河海大学理学院《高等数学》例5求积分.dxxx)1213(22解dxxx)1213(22dxxdxx22112113xarctan3xarcsin2C河海大学理学院《高等数学》例6求积分.dxxxxx)1(122解dxxxxx)1(122dxxxxx)1()1(22dxxx1112dxxdxx1112Cxxlnarctan河海大学理学院《高等数学》例7求积分.2cos11dxx解dxx2cos11dxx2cos121Cxtan21dxx2sec21河海大学理学院《高等数学》一、求下列不定积分：1、dxxx2212、dxxxx42532课堂练习3、dxx2cos24、dxxxx22sincos2cos5、dxxxx)11(26、xdxxxx2222sec1sin.)1(21222dxxxx7、☆☆☆.124dxxx8、☆