2015年北京中考各区县数学一模压轴题(答案版)

压轴题答案1.海淀区27.(本小题满分7分)解：（1）∵抛物线2212yxx与y轴交于点A，∴点A的坐标为（0，2）．…………………………………………1分∵2211(232)212yxxx，∴抛物线的对称轴为直线1x，顶点B的坐标为（1，32）．…………2分又∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称，∴点C的坐标为(2，2)，且点C在抛物线上．设直线BC的解析式为ykxb．∵直线BC经过点B（1，32）和点C(2，2)，∴3222.，kbkb解得121.kb，∴直线BC的解析式为112yx．…………………………3分（2）∵抛物线2212yxx中，当4x时，6y，∴点D的坐标为(4，6)．………………4分∵直线112yx中，当0x时，1y，当4x时，3y，∴如图，点E的坐标为(0，1)，点F的坐标为(4，3)．设点A平移后的对应点为点'A，点D平移后的对应点为点'D．当图象G向下平移至点'A与点E重合时，点'D在直线BC上方，此时t=1；…………………………………………………………5分当图象G向下平移至点'D与点F重合时，点'A在直线BC下方，此时t=3．xyO–5–4–3–2–112345–7–6–5–4–3–2–11234567FEDABC……………………………………………………………………………………6分结合图象可知，符合题意的t的取值范围是13t≤．……………………………7分28.(本小题满分7分)（1）补全图形，如图1所示．…………………………………………………………1分GFEDCBA图1图2（2）方法一：证明：连接BE，如图2．∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC．120ADC，60DCB．AC是菱形ABCD的对角线，∴1302DCADCB．……………………………………………………………2分180100EDCDECDCA．由菱形的对称性可知，50BECDEC，100EBCEDC．……………………………………………………………………3分100GEBDECBEC．GEBCBE．50FBC，50EBGEBCFBC．…………………………………………………………4分EBGBEC．在△GEB与△CBE中，,,,GEBCBEBEEBEBGBEC∴△GEB≌△CBE．GFEDCBAEGBC．………………………………………………………………………………5分方法二：证明：连接BE，设BG与EC交于点H，如图3．∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC．120ADC，60DCB．AC是菱形ABCD的对角线，∴1302DCADCB．………………………2分180100EDCDECDCA．由菱形的对称性可知，50BECDEC，100EBCEDC．……………………………………………3分50FBC，图350EBGEBCFBCBEC．………………………………………………4分BHEH．在△GEH与△CBH中，,,,GEHCBHEHBHEHGBHC∴△GEH≌△CBH．EGBC．………………………………………………………………………………5分（3）3AEBGEG．…………………………………………………………………7分29．(本小题满分8分)解：（1）①(3,1)；……………………………………………………………………1分②点B．………………………………………………………………………2分（2）依题意，3(2)yxx≥图象上的点P的限变点必在函数3,13,21xxyxx≥≤的图象上．2≤b，即当1x时，b取最大值2．当2b时，23x．5x．………………………………………3分当5b时，53x或53x．2x或8x．………………………………4分52≤≤b，由图象可知，k的取值范围是58≤≤k．……………………………………………5分xy–4–3–2–1123456789–7–6–5–4–3–2–11234OHGFEDCBA（3）2222()yxtxttxtt，顶点坐标为(,)tt．………………………………………………………………6分若1t，b的取值范围是≥bm或≤bn，与题意不符．若1≥t，当1≥x时，y的最小值为t，即mt；当1x时，y的值小于2[(1)]tt，即2[(1)]ntt．22(1)1smntttt．s关于t的函数解析式为211)stt(．……………………………7分当t=1时，s取最小值2．s的取值范围是s≥2．………………………………………………………8分2.西城区27．解：（1）∵二次函数21yxbxc的图象1C经过(1,0)，(0,3)两点，∴10,3.bcc………………………………1分解得2,3.bc…………………………………2分∴抛物线1C的函数表达式为3221xxy．……………………………………3分（2）∵22123=(1)4yxxx，∴抛物线1C的顶点为(1,4)．………………………………………………4分∴平移后抛物线2C的顶点为(0,0)，它对应的函数表达式为22yx．…5分（3）a≥1（见图7）．………………………………………………………………7分28．解：（1）90，12．………………………………………………………………………2分（2）结论：90AHB，32AFBE．证明：如图8，连接AD．∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形．∵D为BC的中点，图7∴AD⊥BC．∴∠1+∠2=90°．又∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°．∴∠2+∠C=90°．∴∠1=∠C=60°．设AB=BC=k（0k），则124kCECD，34DEk．∵F为DE的中点，∴1328DFDEk，3322ADABk．∴32ADBC，32DFCE．∴BCADCEDF．…………………………………………………………3分又∵∠1=∠C，∴△ADF∽△BCE．…………………………………………………4分∴32AFADBEBC，…………………………………………………5分∠3=∠4．又∵∠4+∠5=90°，∠5=∠6，∴∠3+∠6=90°．∴90AHB．………………………………………………………6分（3）1tan9022（）．………………………………………………………………7分注：写1cos2sin或其他答案相应给分．29．解：（1）3，13．（每空各1分）……………………………………………………2分（2）1．……………………………………………………………………………4分（3）①如图9，过点O分别作射线OE、OF的垂线OG、OH，则图形M为：y轴正半轴，∠GOH的边及其内部的所有点（图中的阴影部分）．………………………………………………………………………………7分说明：（画图2分，描述1分）（图形M也可描述为：y轴正半轴，直线xy33下方与直线xy33下方重叠的部分（含边界））②34．…………………………………………………………………………8分图83.东城区27．解：（1）∵抛物线210yaxbxa过点1,0A，1,1B，∴10,11.abab∴1,21.2ab∴抛物线的函数关系式为211122yxx.…………2分（2）∵122bxa，0,1C∴抛物线211122yxx的对称轴为直线12x.设点E为点A关于直线12x的对称点，则点E的坐标为2,0.连接EC交直线12x于点D，此时ACD△的周长最小.设直线EC的函数表达式为ykxm，代入,EC的坐标，则2m0,1.km解得1,21.km所以，直线EC的函数表达式为112yx.当12x时，34y.∴点D的坐标为13,24.…………4分（3）存在.①当点A为直角顶点时，过点A作AC的垂线交y轴于点M，交对称轴于点1P.∵AOOC，1ACAP，∴90AOMCAM.∵0,1C，1,0A，∴1OAOC.∴45CAO.∴45OAMOMA.∴1OAOM.∴点M的坐标为0,1.设直线AM对应的一次函数的表达式为11ykxb，代入,AM的坐标，则1110,1.kbb解得111,1.kb所以，直线AM的函数表达式为1yx.令12x，则32y.∴点1P的坐标为13,22.…………5分②当点C为直角顶点时，过点C作AC的垂线交对称轴于点2P，交x轴于点N.与①同理可得RtCON△是等腰直角三角形，∴1OCON.∴点N的坐标为1,0.∵2CPAC，1APAC，∴21CPAP∥.∴直线2CP的函数表达式为1yx.令12x，则12y.∴点2P的坐标为11,22.…………6分综上，在对称轴上存在点1P13,22，2P11,22，使ACP△成为以AC为直角边的直角三角形．…………7分28.解:(1)当60时,BDAA.------------1分（2）补全图形如图1，BDAA仍然成立；------------3分（3）猜想BDAA仍然成立.证明：作AECC，AFCC，垂足分别为点,EF，如图2，则90AECAFC.∵BCBC，∴BCCBCC.∵90ACBACB，∴90ACEBCC，'90ACFBCC.∴ACEACF.在AEC△和AFC△中，90,,,AECAFCACEACFACAC∴AECAFC△≌△.∴AEAF.图2图1在AED△和AFD△中，90,,,AECAFDADEADFAEAF∴AEDAFD△≌△.∴ADAD.∵ABAB，∴'ABA△为等腰三角形.∴BDAA------------7分29．解：（1）∵20x≥，∴2x-1≥-1.∴2-x-1＞2.∴2min2x-1,-2.┉┉2分(2)∵2211xxkxk2,∴2111xkk≥.∵2min{2,3}3xxk，∴13k≥.∴2k≥.┉┉5分(3)37m≤≤.┉┉8分4.朝阳区27.解：（1）∵点A在直线xy，且点A的横坐标是－3，∴A(－3，－3).………………………………………………………………1分把A(－3，－3)代入xaxy42，解得a=1.……………………………………………………………………2分∴M1:xxy42，顶点为(－2，－4).∴M2的顶点为(1，－1).∴M2的表达式为xxy2-2.…………3分（2）①由题意，C(2，2)，∴F(4，2).………………………………4分∵直线nxy经过点F，∴2=4+n.解得n=－2.………………………5分②n＞3，n＜－6.………………7分28.解：（1）①补全图形，如图1所示.………………………1分②由题意可知AD=DE，∠ADE=90°.∵DF⊥BC，∴∠FDB=90°.∴∠ADF=∠EDB.……………………………………2分∵∠C=90°，AC=BC，∴∠ABC=∠DFB=90°.∴DB=DF.∴△ADF≌△EDB.…………