68椭圆的第二定义

FMoxy••N1.基本量:a、b、c、e几何意义：a-半长轴、b-半短轴、c-半焦距，e-离心率；相互关系：回顾椭圆的基本性质2.基本点：顶点、焦点、中心3.基本线:对称轴222bacace一.椭圆中的基本元素二、椭圆的基本性质方程图形几何性质范围对称顶点离心率12222byax12222bxay-a≤x≤a,-b≤y≤b-b≤x≤b,-a≤y≤a关于x轴，y轴，原点对称A1（-a,0）A2（a,0）B1（0,b）B2（0,-b）A1（0,-a）A2（0,a）B1（-b,0）B2（b,0））（10eace）（10eacexyB1B2A1A2∣∣F1F2YXF1OF2＿＿A2A1B1B2关于x轴，y轴，原点对称•[问题]已知动点M与定点F(c，0)的距离和它与定直线•x=—的距离的比是常数—(ac0)。求点M的轨迹。•分析解答：•在已知直角坐标系中，设•M(x，y)为轨迹上任意一点。•————=—a2ccax=—a2ca2FMoxy••N(x-c)2+y2|—-x|cca(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)设b2=a2-c2代入，两边同除a2b2得标准方程—+—=1x2y2b2a2它表明动点M的轨迹是椭圆,由此我们得到椭圆的第二种定义:椭圆的定义2:平面内到定点F和到定直线L(FL)的距离之比等于平面内,到定点F的距离和到定直线L（FL）的距离之比等于常数e(0e1)的点的轨迹是椭圆。其中定点F就是椭圆的一个焦点，e就是其离心率，定直线L叫做椭圆的准线。依据椭圆的对称性,椭圆有两条准线.注意:椭圆的几何性质中,有些是依赖坐标系的性质(如:点的坐标\线的方程),有些是不依赖坐标系、图形本身固有的性质(如:距离\角),要注意区别。中心到准线的距离：d=ca2焦点到准线的距离：d=-cca2两准线间的距离：d=ca22[精典精范例选讲与知能训练]例1椭圆+=1上一点P到右准线的距离为10,则:点P到左焦点的距离为()A.14B.12C.10D.81002x362y例2例21.若椭圆的两个焦点把两准线间的距离三等分,则:离心率e=______2离心率e=,且两准线间的距离为4的椭圆的标准方程为____________223.若椭圆的短轴长为2,长轴是短轴的2倍,则:中心到准线的距离为()A.B.C.D.5585543383344.离心率e=,一条准线方程为y=-53325例3、已知椭圆有内一点P（1，－1），F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使取最小值，则点M的坐标为（）ABCD变式求:|MP|+|MF|的最大值和最小值.例4过椭圆+=1的左焦点F1任作一条弦AB,请判断:以AB为直径的圆与左准线的位置关系.ax22by22例5焦半径公式及其应用设点P（x0,y0),求证：|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0思考：焦点在轴上的焦半径公式呢？椭圆+=1上的点P与其两焦点F1、F2的连线段分别叫做椭圆的左焦半径和右焦半径,统称“焦半径”。ax22by22焦点在y轴上时,设P(x0，y0)是椭圆上的点，则:焦半径公式为:|PF1|=a+ey0，|PF2|=a-ey0F1oxyMN••F2F1oxyP•MNy=a2/cy=-a2/c（1）.点P为椭圆上动点,F为它的一个焦点,则:|PF|的最大值为___,最小值为____(2).椭圆+=1(ab0)上一横坐标为3的点P到两焦点的距离分别为3.5和6.5,则:椭圆的标准方程为______ax22by22(3).P为椭圆+=1上动点,则:|PF1|.|PF2|的的最大值为______,最小值为____42x32y14752522yx点评小结求几何量(距离/长度/角)的最值的方法归纳起来有以下三种方法:法一.函数法:首先要选择恰当的自变量,构建“目标函数”法二.均值不等式法:法三.几何法:结合图形直接在图上找到(作出)最值.•例题6已知椭圆—+y2=1，点P(1，0)。•(1)求过点P，倾角为45o的直线被椭圆截得的弦长。•(2)椭圆的长轴100等分，过每个分点作长轴A1A2•的垂线交椭圆的上半部于B1、B2、…B99，求•|A1P|+|B1P|+|B2P|+…+|B99P|+|A2P|•2x2PxoyABP•A1A2xoyB1B2B99•分析：(1)先判断点P是否焦点，因为a2=2，b2=1，•所以c=1，点P是右焦点，所求的弦是焦点弦AB。•x2+2y2=2与y=x-1联立消去y，得3x2-4x=0，•|AB|=2a-e(x1+x2)=22-(4/3)•2/2=42/3•(2)“等分长轴”，分点的横坐标依次组成一个等差•数列，它对应的焦半径|A1P|，|B1P|，|B2P|，…，•|B99P|，|A2P|也组成一个等差数列，首项是a+c，•最后一项是a-c•S101=——————•101=101a=1012•注意：求焦点弦长有多种方法，但是对于不是焦•点弦不能用第二定义。(a+c)+(a-c)2二.椭圆的参数方程椭圆+=1的参数方程为:ax22by22x=acosθy=bsinθ应用:用作三角代换,把关于x、y的二元函数转化为一元的三角函数.2.已知椭圆+=132xy2(1).求:x+y的最大值和最小值;(2).求椭圆上的动点P到直线x-y+6=0的距离的最小值和最大值.1.椭圆的离心率为____x=5cosθy=4sinθ(θ为参数)应用举例:3.求椭圆+=1(ab0)的内接矩形的面积的最大值.ax22by22想一想:椭圆面积最大的内接矩形是正方形吗?有可能是正方形吗?why?圆的内接矩形呢?