误差理论与测量平差基础第八章 附有限制条件的间接平差

第八章——附有限制条件的间接平差在间接平差中，我们所选参数的个数u正好等于必要观测的个数t，即u=t，并且t个参数相互独立。当我们实际选取的参数个数u大于必要观测的个数t时，情况会如何呢？我们通过实例来回答这个问题。在上图所示的三角网中，t=4，当我们除了选C、D两点的坐标为参数外，还选C、D两点间的距离为参数，即选由图知上试表明：当所选参数的个数ut时，参数之间一定存在函数关系。即参数之间存在s=u-t个条件。参数之间存在条件的平差又是一中种新的平差方法——附有条件的间接平差。CDDDCCSXYXXXYXXXˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ543212422315)ˆˆ()ˆˆ(ˆXXXXX第八章——附有限制条件的间接平差第八章附有限制条件的间接平差§8-1附有限制条件的间接平差原理§8-2精度评定第八章——附有限制条件的间接平差§8-1附有限制条件的间接平差原理1、基础方程设误差方程和参数之间所应满足的条件方程为：（1）其中因为方程个数为n+s个，未知数的个数为n+u个，故上式有无穷组解。为了求既满足条件，又能使的一组解，组成新函数tusWxClxBVsxsusnuunn,0ˆˆ11111nusCrkuBrk,)(,)(minPVVT)ˆ(2xTsTWxCKPVV第八章——附有限制条件的间接平差上式对参数求偏导数，并令其为零，得即于是，可得附有条件的间接平差的基础方程：（2）022ˆCKPBVxTsT0sTTKCPVB00ˆˆ1111111sssuTnnnnuTsxsusnuunnKCVPBWxClxBV第八章——附有限制条件的间接平差2、基础方程的解以上基础方程中，方程的个数为n+u+s个，而未知数为n个改正数、u个参数、s个联系数，也是n+u+s个，故有唯一解。将基础方程的第一式代入第二式，得或（3）上式为附有条件的间接平差的法方程。因为满秩方阵，故用左乘以上第一式，并减去第二式，得令，则0ˆ0ˆxTsTTWxCPlBKCxPBBbbN1bbCN0)(11xbbsTbbWWCNKCCN0ˆ0ˆxsTbbWxCWKCxNTbbccCCNN1)(11xbbccsWWCNNK第八章——附有限制条件的间接平差于是，法方程的解为：（4）将代入误差方程，可求出V。进而可得（5）3、附有限制条件的间接平差步骤（1）根据具体问题，按（1）式列出误差方程和条件方程。（2）由误差方程和条件方程列出法方程（3）式。（3）按（4）式计算参数的改正数。（4）按（5）式计算观测值的平差值和参数的平差值。xccTbbbbccTbbWNCNWCNNCENx11111)(ˆxˆxXXVLLˆˆ,ˆ0xˆ教材：8－1第八章——附有限制条件的间接平差4、举例水准网如图所示，同精度观测值为：设AB，BC，CA的高差平差值为参数，试用附有条件的间接平差求各观测值的平差值。mLmLmL030.0016.0008.0321第八章——附有限制条件的间接平差解：t=2,u=3,即取，则误差方程为：因为u-t=1，所以参数之间存在一个条件，即332211ˆˆ,ˆ,ˆˆLXLXLXiiLX0332211xvxvxv06321xxx060000111110010101001321Skxxx第八章——附有限制条件的间接平差解之得：代入误差方程，得：于是：22226000111112111121111231321Skxxxmmvmmvmmv222321mvLLmvLLvLL028.0ˆ,018.0ˆ,m010.0ˆ333222111第八章——附有限制条件的间接平差4、举例三角网如图所示，A、B为已知点，其坐标为：已知BD边的边长为无误差。同精度独立观测值见下表，试按附有条件的间接平差对该网进行平差mymxmymxBBAA00.173200.100000.000.1000mSBD00.1000YX第八章——附有限制条件的间接平差解：选待定点C、D的坐标平差值为参数。因本例n=6，t=3，u=4，故s=u-t=1。取参数近似值为：角号观测值角号观测值160000345959572600002559595636000046595959mymxmymxDDCC00.866,00.50000.866,00.15000000第八章——附有限制条件的间接平差误差方程和条件方程如下：020.2ˆ866.0ˆ500.024.638.138.062.662.424.2ˆˆˆˆ032.1786.1032.1786.1032.1786.1063.20063.20032.1786.1032.1786.1063.20063.20032.1786.1031.1786.1031.1786.1DDDDCCyxyxyxV第八章——附有限制条件的间接平差组成法方程如下：求解法方程，得0200.2065.2504.24220.7718.22ˆˆˆˆ0866.0500.000866.0768.120390.60500.00759.120380.60390.60768.12000380.60759.12sDDCCkyxyx9655.284593.2ˆ,1399.0ˆ6653.0ˆ,8505.1ˆSDDCCkcmycmxcmycmx第八章——附有限制条件的间接平差改正数为：参数平差值为：观测值的平差值（略）TV0.00.00.87.57.54.2mcmmyYYmcmmxXXmcmmyYYmcmmxXXDDDDDDCCCCCC975.8654593.200.866ˆˆ999.4991399.0500ˆˆ993.8656653.000.866ˆˆ981.14998505.11500ˆˆ0000习题：8.1.10，8.1.11第八章——附有限制条件的间接平差(1)、单位权中误差在附有条件的间接平差中，单位权中误差的估值仍为(2)、基本向量的协因数矩阵在附有条件的间接平差中，基本向量为：rPVVT20ˆLVKXWLsˆ,,,ˆ,,§8-2精度评定第八章——附有限制条件的间接平差即VLLVlEPBCNNCNNBVKPlBCNNKCPlBCNNCNNXWPlBWLLTbbccTbbbbSTbbccsTbbccTbbbbTˆ)(ˆ01111011011110第八章——附有限制条件的间接平差则bbXXLLTbbccTbbbbWXTXXLLTbbccTbbbbLXbbccTbbbbTbbccTbbbbWWbbccTbbbbXXTLLTWLbbLLTWWLLLLNQPBPQBCNNCNNQBQPQBCNNCNNQCNNCNNCNNCNNQCNNCNNQBPQBQNPBPQBQQQˆˆ1111ˆˆˆ1111ˆ111111111111ˆˆ)()()()(第八章——附有限制条件的间接平差同理:0)(111111111111ˆ111111111111111bbccTbbccbbccbbccTbbbbLLTbbccXKccLLTbbccWKTbbccLLTbbccLKccccTbbccccTbbLLTbbccKKCNNCCNNCNNCNNCNNPBPQBCNNQCNPBPQBCNNQBCNNPQBCNNQNNCCNNNCPBNPQBCNNQSSSSS第八章——附有限制条件的间接平差因为:所以:dlXdEBdVlXBVˆ)(,ˆTXXLLTLLXLLXXXVVBBQQEBQQQQEBQˆˆˆˆˆˆ)(!111ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ0)(CCTbbCCTbbLLTXXVKXXXXXXXXbbXXXXLLTXXXVbbXXLLTXXVWVVLLTXXLLLLTXXLLTXXVlNCBNNCPBNQEPBBQQBQBQBQQNBQPBQQEPBBQQBNBQPBQEPBBQQQQBBQQPQBBQQEPBBQQS第八章——附有限制条件的间接平差因为0ˆˆˆˆ)(ˆLPLBBQlEPBBQLVLLTXXTXX0)(0)(ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ1111111111ˆˆ11ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆTXXTXXXXLLTXXVLCCTbbCCTbbCCTbbccTbbbbCCTXXCCTbbLLTXXKLXXXXLLTXXXLbbXXLLTXXWLTXXTXXbbXXTXXLLTXXLLBBQBBQEPBQPQBBQQNCBNNCBNNCCNNCNNBNCBQNCPBNPQBBQQBQPBQPQBBQQNBQPBPQBBQQBBQBQNBQBPBQPQBBQQS第八章——附有限制条件的间接平差(3)、平差值函数的协因数设平差值函数为将其全微分，得平差值函数的权函数式为：所以：式中：)ˆ(XQFQFQXXT0ˆˆˆˆ,uTXXXFˆˆˆ21XdFXdXdTˆˆˆ