用2.3.2等差数列前n项和的性质推导

2.3.2等差数列前n项和的性质推导3．等差数列前n项和的性质等差数列有以下10条常用的性质：(1)Sn是等差数列{an}前n项和⇔Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)．(2)等差数列(公差d≠0)依次k项之和仍然是等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k…成公差为k2d的等差数列．(3)等差数列{an}中，若Sn＝m，Sm＝n，(m≠n)，则有Sm＋n＝_________。(4)若Sm＝Sn(m≠n)，则Sm＋n＝0.(5)若{an}和{bn}均为等差数列，且前n项的和分别为An与Bn，则有ambm＝A2m－1B2m－1.－(m＋n)3.等差数列的前n项和的性质(6)项数为2n(偶数)的等差数列{an}，有：S2n＝n(an＋an＋1)，(an、an+1为中间两项)S偶－S奇＝_____，S奇S偶＝anan＋1.(7)项数为2n－1(奇数)的等差数列{an}，有：S2n－1＝_________an，(an为中间项)S奇－S偶＝____，S奇S偶＝nn－1.nd(2n－1)an3.等差数列前n项和的性质(8)在等差数列{an}中，a10，d0.则Sn存在最_____值；a10，d0，则Sn存在最____值．(9)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则{Snn}也是等差数列．(10)若Sn是等差数列{an}的前n项和，则当p≠q(p，q∈N*)时，有:Sp＋qp＋q＝Sp－Sqp－q.大小教材45页例4，要注意从函数的角度来看待等差数列，注意知识之间的衔接、联系，一方面可从二次函数最值来讨论，另一方面可从一次函数零点和正负值区间来考察，注意体会这种多角度、全方位看问题的方法．6．课前自主预习中性质的推导：性质(1)如果{an}是等差数列，公差为d，则Sn＝na1＋nn－12d＝d2n2＋(a1－d2)n，令A＝d2，B＝a1－d2，则Sn＝An2＋Bn.反之，若{an}前n项和Sn＝An2＋Bn，则n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(An2＋Bn)－[A(n－1)2＋B(n－1)]＝2A＋(B－A)，a1＝S1＝A＋B也满足，∴an＝2An＋(B－A)，显然{an}为等差数列．性质(2)设等差数列的首项为a1，公差为d，则ak＋1＝a1＋kd，a2k＋1＝a1＋2kd.Sk＝ka1＋kk－12d.又S2k－Sk为数列第k＋1项到第2k项这k项的和，∴S2k－Sk＝k(a1＋kd)＋kk－12d＝ka1＋kk－12d＋k2d.同理：S3k－S2k＝k(a1＋2kd)＋kk－12d＝ka1＋kk－1d2＋2k2d，∴Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，构成等差数列，且公差为k2d.性质(3)Sn＝na1＋nn－12d＝m.Sm＝ma1＋mm－12d＝n.两式相减得：∴(n－m)a1＋d2[(n2－n)－(m2－m)]＝m－n，∴a1＝－d2(n＋m－1)－1，∴Sn＋m＝(n＋m)a1＋n＋mn＋m－12d＝(n＋m)[－d2(n＋m－1)－1＋n＋m－1d2]＝－(n＋m)．性质(4)∵Sm＝Sn，∴ma1＋mm－12d＝na1＋nn－12d∴a1＋d2(m＋n－1)＝0，∴Sm＋n＝(m＋n)a1＋m＋nm＋n－12d＝(m＋n)[a1＋d2(m＋n－1)]＝0.性质(5)∵{an}，{bn}均为等差数列，∴A2m－1B2m－1＝2m－1a1＋a2m－122m－1b1＋b2m－12＝a1＋a2m－1b1＋b2m－1＝2am2bm＝ambm.性质(6)①在等差数列中，a1＋a2n＝a2＋a2n－1＝…＝an＋an＋1，∴S2n＝2na1＋a2n2＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)．②又偶数项的首项为a2＝a1＋d，偶数项构成以2d为公差的等差数列；奇数项的首项为a1，奇数项构成以2d为公差的等差数列，且项数都为n.∴S偶＝n(a1＋d)＋nn－12·2d＝na1＋n(n－1)d＋nd.S奇＝na1＋nn－12·2d＝na1＋n(n－1)d.S偶－S奇＝nd.S奇S偶＝na1＋nn－1dna1＋nn－1d＋nd＝a1＋n－1da1＋nd＝anan＋1.性质(7)从略．性质(8)∵Sn＝na1＋nn－12d＝d2n2＋(a1－d2)n，∴当a10，d0时，d20，a1－d20.而抛物线的顶点横坐标为－a1－d2d0，开口向下．所以此时Sn存在最大值．同理当a10，d0时，Sn存在最小值．在a10，d0时，求Sn的最大值可以用二次函数求最值，也可以解不等式组an≥0an＋10来确定n；在a10，d0时，求Sn的最小值可用二次函数求最值，也可以解an≤0an＋10来确定n.7．解决数列的应用问题，应重点分清所求问题是数列的通项，还是前n项的和．求项数时，要注意分清究竟是多少项，避免多一项和少一项的错误，对其结果，要看有无合理解释，是否符合实际问题．8．方程的思想：在等差数列中，a1，d，an，Sn，n五个量中知道3个可列方程(组)求其余两个．