2019高职高考数学复习-等差数列

5.2等差数列【复习目标】1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.掌握等差中项的概念和性质.4.掌握等差数列的性质.【知识回顾】1.等差数列定义如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做公差,记为d,即d=an+1-an(n∈N+).等差数列的一般形式为a1,a1+d,a1+2d,….2.等差数列通项公式an=a1+(n-1)d.3.等差数列前n项和公式记Sn=a1+a2+a3+…+an,则Sn=𝒏(𝒂𝟏+𝒂𝒏)𝟐或Sn=na1+𝒏(𝒏−𝟏)𝟐d.【说明】在a1,d,n,an,Sn五个量中,已知任意三个量可求出另两个量,即“知三求二”.4.等差中项对给定的实数a与b,如果插入数A使得a,A,b成等差数列,则称A叫做a与b的等差中项,且A=𝒂+𝒃𝟐或2A=a+b.【说明】前面复习时,曾把这个数叫做a与b的算术平均数,“一物二名”,可联系起来记忆.5.等差数列的性质(1)在等差数列中,若公差d=0,则此数列为常数列;若d0,则此数列为递增数列;若d0,则此数列为递减数列.(2)在等差数列中,am-an=(m-n)d或d=𝒂𝒎−𝒂𝒏𝒎−𝒏(m,n∈N+,m≠n)(3)在等差数列中,若正整数m,n,p,q满足m+n=p+q,则有am+an=ap+aq.(4)在等差数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列,构成一个新的等差数列.如a1,a3,a5,…仍然是等差数列.(5)在等差数列中,每连续m项之和构成的数列仍然是等差数列.如a1+a2,a3+a4,a5+a6仍然是等差数列.【说明】在三个成等差数列的数中,一般设为:a-d,a,a+d.【例题精解】【解】因为a1=2,d=9-2=7,所以这个等差数列的通项公式是an=2+(n-1)×7.即an=7n-5.所以a20=7×20-5=135.【点评】根据等差数列的定义,由d=an+1-an求出公差,然后直接应用通项公式求得.【例1】求等差数列2,9,16,…的通项公式及第20项.【例2】已知c≠0,且a,b,c,2b成等差数列,则𝒄𝒂=.【解】∵a,b,c,2b成等差数列∴2b-c=c-b∴c=𝟑𝟐b又∵b-a=c-b∴a=2b-c=2b-𝟑𝟐b=𝟏𝟐b∴𝒄𝒂=𝟑𝟐𝒃𝟏𝟐𝒃=3【例3】在等差数列{an}中,d=2,an=1,Sn=-8,求a1和n.【分析】联立通项公式an=a1+(n-1)d及前n项和公式Sn=𝒏(𝒂𝟏+𝒂𝒏)𝟐组成方程组,解之即可.【例4】一个等差数列的第5项为0,第9项为12,求该数列的首项,公差及前20项的和.【分析】由两个已知条件列出关于首项a1和公差d的方程组,解方程组即可求出a1和d.【解】设等差数列的首项为a1,公差为d.由题意得𝒂𝟏+𝟒𝒅=𝟎𝒂𝟏+𝟖𝒅=𝟏𝟐解之得a1=-12,d=3∴S20=20×(-12)+𝟐𝟎×(𝟐𝟎−𝟏)𝟐×3=330.【点评】本题实际上是用待定系数法求出a1和d.其实,这道题也可以直接运用等差数列的性质来求解:由a9-a5=4d求出d.【分析】(1)a1+a10=a3+a8=a4+a7=a5+a6=20,S10=(𝒂𝟏+𝒂𝟏𝟎)𝟏𝟎𝟐=𝟐𝟎×𝟏𝟎𝟐=100.(2)已知a2和a99,可求出a1和d,代入通项公式,可求出a3+a98,但此种方程较繁琐;若注意到3+98=2+99,立即可得a3+a98=a2+a99=30.(3)若能求出a1和d,则易求出a1+2a4.但已知仅有一个条件,不能求出a1和d.故只能巧解,a1+2a4=a1+(a3+a5)=a3+(a1+a5)=a3+2a3=3a3=15.【点评】1.在等差数列{an}中,若2p=m+n,则2ap=am+an.(p,m,n∈N+)2.合理运用等差数列的性质,可减少计算量,甚至起到意想不到的效果.【例5】在等差数列{an}中,(1)已知a3+a4+…+a8=60,则S10=;(2)已知a2=3,a99=27,则a3+a98=;(3)已知a3=5,则a1+2a4=.【例6】三个数成等差数列,它们的和为12,积为48,求这三个数.【解】设它们为x-d,x,x+d,则(𝒙−𝒅)+𝒙+(𝒙+𝒅)=𝟏𝟐(𝒙−𝒅)·𝒙·(𝒙+𝒅)=𝟒𝟖①由①可得到3x=12,即x=4,代入②并整理得d2=4,∴d=±2当d=2时,这三个数分别为:2,4,6;当d=-2时,这三个数分别为6,4,2∴这三个数为2,4,6或6,4,2.【点评】三个数成等差数列且已知它们的和,一般设三个数为:x-d,x,x+d,其优点在于:(1)只有两个未知数,(2)三个量的对称性.【同步训练一】【答案】D一、选择题1.在数列①1,1,1,…;②1,𝟏𝟐,𝟏𝟑,…;③-1,1,-1,…;④4,5,6,…中,是等差数列的是()A.①与②B.②与③C.③与④D.①与④【答案】C2.已知等差数列{an}中,a1=1,d=3,那么当an=298时,项数n等于()A.98B.99C.100D.101【答案】D3.已知等差数列{an}中,a1=20,a27=54,则公差为()A.34B.𝟏𝟐𝟏𝟑C.𝟑𝟒𝟐𝟕D.𝟏𝟕𝟏𝟑【答案】B4.在等差数列{an}中，已知a2+a4=16,则a3=()A.4B.8C.16D.32【答案】A5.一个等差数列的第五项a5=10,且a1+a2+a3=3,则有()A.a1=-2,d=3B.a1=2,d=-3C.a1=-3,d=2D.a1=3,d=-2【答案】B6.若x,a,2x,b成等差数列,则a∶b=()A.𝟏𝟐B.𝟑𝟓C.𝟏𝟑D.𝟏𝟓【答案】C7.数列{an}的通项公式为an=2n+1，则该数列前10项的和是()A.55B.100C.120D.121【答案】C8.若lga,lgb,lgc三个数成等差数列,则()A.b=𝒂+𝒄𝟐B.b=𝒍𝒈𝒂+𝒍𝒈𝒄𝟐C.b=𝒂𝒄D.b=±𝒂𝒄【答案】C9.在等差数列40,37,34,…中第一个负数项是()A.第13项B.第14项C.第15项D.第16项【答案】B10.在等差数列{an}中,已知公差为𝟏𝟐,且a1+a3+a5+…+a99=60,那么a1+a2+a3+…+a100等于()A.120B.145C.150D.170二、填空题11.在等差数列{an}中,已知d=-2,n=10,an=-15,则a1=,Sn=.12.等差数列{an}中,a1=2,a2+a3=10,则公差d=.13.𝟑+𝟐𝟑−𝟐与𝟑−𝟐𝟑+𝟐的等差中项是.14.已知等差数列11,8,…,它的第8项是,第n+1项是.15.在等差数列{an}中,已知a2=-5,a6=6+a4,那么a1=.3-602a8=-10an+1=-3n+11-85【解】∵a8=a1+7d∴a1=a8-7d=-3-7×(-3)=18S8=[𝟏𝟖+(−𝟑)]×𝟖𝟐=60三、解答题16.在等差数列{an}中,已知a8=-3,d=-3,求a1与S8.17.等差数列{an}中,若a15=33,a45=153,则377是这个数列的第几项?【解】∵a45-a15=30d∴d=𝟏𝟓𝟑−𝟑𝟑𝟑𝟎=4又∵377=a45+(n-45)d即377=153+(n-45)×4∴n=101故377是这个数列的第101项.【解】设这三个数为x-d,x,x+d.则𝒙−𝒅+𝒙+𝒙+𝒅=𝟏𝟖①(𝒙−𝒅)𝟐+𝒙𝟐+(𝒙+𝒅)𝟐=𝟏𝟏𝟔②由①得x=6,代入②解得d=2或d=-2∴当d=2时,这三个数为4,6,8当d=-2时,这三个数为8,6,4.18.三个数成等差数列,它们的和是18,它们的平方和是116,求这三个数.【同步训练二】【答案】B一、选择题1.在等差数列{an}中,已知a4=-1,a7=8,则首项a1与公差d为()A.a1=10,d=3B.a1=-10,d=3C.a1=3,d=-10D.a1=3,d=10【答案】B2.等差数列{an}中,a5=4,a9=10,则a13=()A.25B.16C.14D.12【答案】C3.已知数列{an}是等差数列,且a2+a3+a10+a11=48,则a6+a7等于()A.16B.20C.24D.28【答案】D4.在等差数列{an}中,已知a3+a18=20,则S20=()A.140B.160C.180D.200【答案】A5.在等差数列{an}中,已知a3+a9+a15+a17=4,则a11等于()A.1B.-1C.0D.不能确定【答案】B6.在等差数列{an}中,前15项之和S15=60,则a8=()A.2B.4C.6D.8【答案】B7.等差数列{an}中,若a5+a13=40,则a8+a9+a10=()A.48B.60C.72D.84【答案】D8.等差数列{an}中,a5=20,a20=5,则a25=()A.25B.-15C.100D.0【答案】C9.在等差数列{an}中,前10项的和为20,前20项的和为60,则前30项的和为()A.80B.100C.120D.140【答案】C10.在等差数列{an}中,若前4项和S4=1,前8项和S8=4,则a17+a18+a19+a20的值等于()A.7B.8C.9D.10二、填空题11.在等差数列{an}中，a3=7，d=-1，则an=.12.若三个连续正整数的和是69，则在它后面的三个连续正整数的和是.13.在等差数列{an}中，a4=18，a11=32，则d=，Sn=.14.在等差数列{an}中，S3=9，S6=36，则S9=.15.等差数列{an}，a1,a2,a3,…,am的和为64，而且am-1+a2=8，那么项数m=.10-n782n2+11n8116【解】𝟓=𝒂𝟏+𝟓𝒅𝟓=𝟐𝒂𝟏+𝟗𝒅解之得a1=-20,d=5三、解答题16.在等差数列{an}中,已知a6=5,a3+a8=5,求a1与d.17.在等差数列{an}中,a12=33,a22=63,求d和a32.【解】∵a22=a12+10d∴d=𝒂𝟐𝟐−𝒂𝟏𝟐𝟏𝟎=𝟔𝟑−𝟑𝟑𝟏𝟎=3∴a32=a22+10d=63+10×3=93【解】∵a1+a3+a5=-3∴a3=−𝟑𝟑=-1∴𝒂𝟏+𝒂𝟓=−𝟐𝒂𝟏·𝒂𝟓=−𝟏𝟓解之得𝒂𝟏=𝟑𝒂𝟓=−𝟓或𝒂𝟏=−𝟓𝒂𝟓=𝟑当a1=3,a5=-5时d=−𝟓−𝟑𝟒=-2∴an=3+(n-1)×(-2)=-2n+5当a1=-5,a5=3时d=𝟑−(−𝟓)𝟒=2∴an=-5+(n-1)×2=2n-718.在等差数列{an}中,a1+a3+a5=-3,a1·a3·a5=15,求它的通项公式.