《数学分析》第二十二章-曲面积分-3

第二十二章曲面积分§3高斯公式与斯托克斯公式1设空间闭区域由分片光滑的闭曲面Σ围成,函数),,(zyxP、),,(zyxQ、),,(zyxR在上具有一阶连续偏导数,则有公式RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(一、高斯公式dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()(或这里是的整个边界曲面的外侧，cos,cos,cos是上点),,(zyx处的法向量的方向余弦.证明设闭区域在面xoy上的投影区域为xyD.xyzo由1,2和3三部分组成,),(1:1yxzz),(2:2yxzz3123xyD根据三重积分的计算法dxdydzzRdvzRxyDyxzyxz}{),(),(21.)]},(,,[)],(,,[{12xyDdxdyyxzyxRyxzyxR根据曲面积分的计算法,)],(,,[),,(11xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR(1取下侧,2取上侧,3取外侧),)],(,,[),,(22xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR,)]},(,,[)],(,,[{12xyDdxdyyxzyxRyxzyxRdxdyzyxR),,(于是.0),,(3dxdyzyxR.),,(dxdyzyxRdvzR,),,(dydzzyxPdvxP同理,),,(dzdxzyxQdvyQRdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(------------------高斯公式和并以上三式得：Gauss公式的实质表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系..)coscoscos()(dSRQPdvzRyQxP由两类曲面积分之间的关系知二、简单的应用例1计算曲面积分xdydzzydxdyyx)()(其中Σ为柱面122yx及平面3,0zz所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧.xozy113解,,0,)(yxRQxzyP,0,0,zRyQzyxPdxdydzzy)(原式dzrdrdzr)sin(.29(利用柱面坐标得)xozy113301020)(sinrdzzrdrd使用Guass公式时应注意:1.RQP,,是对什么变量求偏导数;2.是否满足高斯公式的条件;3.Σ是取闭曲面的外侧.xyzo例2计算曲面积分dszyx)coscoscos(222,其中Σ为锥面222zyx介于平面0z及)0(hhz之间的部分的下侧,cos,cos,cos是Σ在),,(zyx处的法向量的方向余弦.hxyDxyzoh1解空间曲面在面上的投影域为xoyxyD)(:2221hyxhz补充曲面不是封闭曲面,为利用高斯公式取上侧，1构成封闭曲面，1.1围成空间区域,上使用高斯公式在dvzyxdSzyx)(2)coscoscos(1222xyDhyxdzzyxdxdy22,)(2}.|),{(222hyxyxDxy其中xyDhyxdzyxdxdy22,0)(xyDdxdyyxhdSzyx)()coscoscos(2222221.214h112222)coscoscos(dSzdSzyxxyDdxdyh2.4h故所求积分为dSzyx)coscoscos(222421h4h.214h三、物理意义----通量与散度设有向量场kzyxRjzyxQizyxPzyxA),,(),,(),,(),,(沿场中某一有向曲面Σ的第二类曲面积分为1.通量的定义:RdxdyQdzdxPdydzdSnASdA0称为向量场),,(zyxA向正侧穿过曲面Σ的通量.设有向量场),,(zyxA,在场内作包围点M的闭曲面,包围的区域为V,记体积为V.若当V收缩成点M时,极限VSdAMVlim存在,则称此极限值为A在点M处的散度,记为Adiv.2.散度的定义:散度在直角坐标系下的形式dSvdvzRyQxPn)(dSvVdvzRyQxPVn1)(1dSvVzRyQxPn1)(),,(dSvVzRyQxPnM1lim积分中值定理,两边取极限,zRyQxPAdiv高斯公式可写成dSAdvAdivn)coscoscos(0RQPnAAn的边界曲面，是空间闭区域其中.的外侧法向量上的投影在曲面是向量AAn四、小结dSAdvAdivn3、应用的条件4、物理意义2、高斯公式的实质1、高斯公式RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(思考题曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？思考题解答曲面应是分片光滑的闭曲面.一、利用高斯公式计算曲面积分:1、dxdyzdzdxydydzx333,其中为球面2222azyx外侧；2、zdxdyydzdxxdydz,其中是界于0z和3z之间的圆柱体922yx的整个表面的外侧；3、xzdydz,其中是上半球面222yxRz的上侧.练习题二、证明:由封闭曲面所包围的体积为dszyxV)coscoscos(31,式中cos,cos,cos是曲面的外法线的方向余弦.三、求向量kxzjyxizxA22)2(,穿过曲面:为立方体ayax0,0,az0的全表面,流向外侧的通量.四、求向量场kxzjxyieAxy)cos()cos(2的散度.五、设),,(,),,(zyxvzyxu是两个定义在闭区域上的具有二阶连续偏导数的函数,nvnu,依次表示),,(,),,(zyxvzyxu沿的外法线方向的方向导数.证明:dsnuvnvudxdydzuvvu)()(其中是空间闭区域的整个边界曲面.(注222222zyx,称为拉普拉斯算子)练习题答案一、1、5512a；2、81；3、44R.三、)62(23aa.四、)sin(2)sin(2xzxzxyxyeAdivxy.