平面向量专题练习

1平面向量、复数专题训练一、选择题1．i是虚数单位，复数z＝2＋3i－3＋2i的虚部是()A．0B．－1C．1D．22．已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为()A.π6B.π4C.π3D.π23．已知i为虚数单位，则复数z＝2－3i1＋i对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝()A.7B.10C.13D．45．设z＝1＋i(i是虚数单位)，则2z＋z2等于()A．－1－iB．－1＋IC．1－ID．1＋i6．已知复数z＝1＋i，则z2－2zz－1等于()A．2iB．－2iC．2D．－27．设O为△ABC的外心，OD⊥BC于D，且|AB→|＝3，|AC→|＝1，则AD→·(AB→－AC→)的值是()A．1B．2C.2D.38．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量OA→＝a，OB→＝b，其中a＝(3,1)，b＝(1,3)．若OC→＝λa＋μb，且0≤λ≤μ≤1，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是()29．已知两点M(－1,0)，N(1,0)，若直线3x－4y＋m＝0上存在点P满足PM→·PN→＝0，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－5)∪[5，＋∞)B．(－∞，－25)∪[25，＋∞)C．[－25,25]D．[－5,5]10．已知点P为△ABC所在平面上的一点，且AP→＝13AB→＋tAC→，其中t为实数．若点P落在△ABC的内部，则t的取值范围是()A．0t14B．0t13C．0t12D．0t2311．在△ABC中，AB→·BC→＝3，△ABC的面积S∈32，332，则AB→与BC→夹角的取值范围是()A.π4，π3B.π6，π4C.π6，π3D.π6，π412.设θ为两个非零向量a，b的夹角．已知对任意实数t，|b＋ta|的最小值为1()A．若θ确定，则|a|唯一确定B．若θ确定，则|b|唯一确定C．若|a|确定，则θ唯一确定D．若|b|确定，则θ唯一确定二、填空题13．平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________．14．已知向量a、b的夹角为60°，且|a|＝4，(a＋b)·(2a－3b)＝16，则b在a方向上的投影等于________．15．如图1­3所示，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP→＝3PD→，AP→·BP→＝2，则AB→·AD→的值是________．图1­316．如上右图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2π3，P是△ABC外接圆上一动点，则AP→·BC→的最大值为________．3三、解答题17．在中，角的对边分别为．（1）求；（2）若CB⃗⃗⃗⃗⃗∙CA⃗⃗⃗⃗⃗=52，且，求．18．已知向量1,sina，cos,1b，22。（1）若a⊥b，求；（2）求|ba|的最大值。19．已知向量a＝(cos2x，sin2x)，b＝(3，1)，函数f(x)＝a·b＋m.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当x∈0，π2时，f(x)的最小值为5，求m的值．20．已知向量m＝(2cosx,1)，向量n＝(cosx，3sin2x)，x∈R,f(x)＝m·n(1)求f(x)的最小正周期与单调递减区间；(2)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知f(A)＝2，b＝1，△ABC的面`积为32，求b＋csinB＋sinC的值．ABC△ABC，，tan37abcC，，，cosC9abc421．已知平面向量a＝32，－12，向量b＝12，32.(1)证明：a⊥b；(2)若存在不同时为零的实数k和t，使x＝a＋(t2－k)b，y＝－sa＋tb，且x⊥y，试求s＝f(t)的函数关系式；(3)若s＝f(t)在[1，＋∞)上是增函数，试求k的取值范围．22．在直角坐标系xOy中，已知向量a＝(－1,2)，又点A(8,0)，B(ksinθ，t)，(0≤θ≤π2，t∈R)．(1)若AB→⊥a，且|OA→|＝|AB→|，求向量OB→；(2)若AB→∥a，当k4，且tsinθ取最大值为4时，求OA→·OB→.平面向量、复数专题训练参考答案1B2C3C4C5D6A57解析：由已知，D为BC的中点，AD→＝12(AB→＋AC→)，∴AD→·(AB→－AC→)＝12(AB→＋AC→)·(AB→－AC→)＝12(|AB→|2－|AC→|2)＝1，故选A.8解析：OC→＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，3λ＋μ≤λ＋3μ，在平行四边形对角线OD(包括OD)上方的点都符合要求，故选A.9解析：设P(x，y)，则PM→＝(－1－x，－y)，PN→＝(1－x，－y)，PM→·PN→＝(－1－x)(1－x)＋(－y)·(－y)＝x2＋y2－1＝0.∴x2＋y2＝1，因此P的轨迹为单位圆，又P点在直线3x－4y＋m＝0上．∴原点到直线的距离d＝|m|5≤1，∴|m|≤5.∴－5≤m≤5，∴实数m的取值范围是[－5,5]．答案：D10解析：如图，E、F分别为AB、BC的三等分点，由AP→＝13AB→＋tAC→可知，P点落在EF上，而EF→＝23AC→，∴点P在E点时，t＝0，点P在F点时，t＝23.而P在△ABC的内部，∴0t23.答案：D11解析：由AB→·BC→＝3得accos(π－B)＝3，即ac＝－3cosB.由面积S＝12acsinB＝－32×sinBcosB＝－32tanB，又S∈32，332，则32≤－32tanB≤332，得－3≤tanB≤－1，所以2π3≤B≤3π4，所以AB→与BC→夹角的取值范围是π4，π3.故选A.12．B[解析]|b＋ta|≥1，则a2t2＋2|a||b|tcosθ＋b2的最小值为1，这是关于t的二次函数，故最小值为4a2b2－4（|a||b|cosθ）24a2＝1，得到4a2b2sin2θ＝4a2，故|b|sinθ＝1.若|b|确定，则存在两个θ满足条件，且两个θ互补；若θ确定，则|b|唯一确定．故选B.13．2[解析]c＝ma＋b＝(m＋4，2m＋2)，由题意知a·c|a|·|c|＝b·c|b|·|c|，即（1，2）·（m＋4，2m＋2）12＋22＝（4，2）·（m＋4，2m＋2）42＋22，即5m＋8＝8m＋202，得m＝2.14解析：|a|＝4，(a＋b)·(2a－3b)＝2×42－3b2－4·|b|·cos60°＝16⇒|b|＝2，b在a方向上的投影为|b|cos60°＝1.615．22[解析]因为CP＝3PD，AP·BP＝2，所以AP＝AD＋DP＝AD＋14AB，BP＝BC＋CP＝AD－34AB，所以AP·BP＝AD→＋14AB·AD－34AB＝AD2－12AD·AB－316AB2＝2.又因为AB＝8，AD＝5，所以2＝25－316×64－12AB·AD，故AB·AD＝22.16解析：设圆心为O，∵AP→＝AO→＋OP→，∴AP→·BC→＝(AO→＋OP→)·BC→＝OP→·BC→＝|OP→|·|BC→|·cosθ(θ为OP→与BC→的夹角)＝3cosθ≤3，当且仅当θ＝0时，AP→·BC→＝3.17解：（1）又解得．，是锐角．．（2），，．又．．．．18解：（1）若a⊥b，则0cossin。∴221tan，得4。（2）由1,sina，cos,1b，得cos1,1sinba。所以cossin23cos11sin|ba|224sin223，当14sin时，|ba|取得最大值，即当4时，|ba|的最大值为12。19解(1)由题意知，f(x)＝(cos2x，sin2x)·(3，1)＋m＝3cos2x＋sin2x＋m＝2sin(2x＋π3)sintan3737cosCCC，22sincos1CC1cos8Ctan0CC1cos8C52CBCA5cos2abC20ab9ab22281aabb2241ab2222cos36cababC6c7＋m，所以f(x)的最小正周期为T＝π.(2)由(1)知，f(x)＝2sin2x＋π3＋m，当x∈0，π2时，2x＋π3∈π3，4π3.所以当2x＋π3＝4π3，f(x)的最小值为－3＋m.又因为f(x)的最小值为5，所以－3＋m＝5，即m＝5＋3.20解：(1)f(x)＝m·n＝2cos2x＋3sin2x＝3sin2x＋cos2x＋1＝2sin2x＋π6＋1.∴函数f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.令π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ(k∈Z)，解得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ(k∈Z)．∴函数f(x)的单调递减区间是π6＋kπ，2π3＋kπ，k∈Z.(2)由f(A)＝2，得2sin2A＋π6＋1＝2，sin2A＋π6＝12，在△ABC中，∵π62A＋π6π6＋2π，∴2A＋π6＝5π6，解得A＝π3.S△ABC＝12bcsinA＝12×1×c×32＝32，解得c＝2.在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝1＋4－2×1×2×12＝3，∴a＝3.根据正弦定理得bsinB＝csinC＝asinA＝332＝2，得b＝2sinB，c＝2sinC，∴b＋csinB＋sinC＝2.21解析：(1)证明：由题知|a|＝|b|＝1，且a·b＝32×12－12×32＝0，所以a⊥b.(2)由于x⊥y，则x·y＝0，－s|a|2＋(t＋sk－st2)a·b＋t(t2－k)|b|2＝0，故s＝f(t)＝t3－kt.(3)∵s＝t3－kt在[1，＋∞)上是增函数，∴s′＝3t2－k≥0在[1，＋∞)上恒成立，即k≤3t2在[1，＋∞)上恒成立，而3t2≥3，∴只需k≤3，∴k的取值范围是(－∞，3]．822解析：(1)AB→＝(ksinθ－8，t)，由AB→⊥a，得：－ksinθ＋8＋2t＝0，即ksinθ＝2t＋8，又|OA→|＝|AB→|，∴64＝(ksinθ－8)2＋t2＝(2t＋8－8)2＋t2＝5t2，∴t＝±855.∴OB→＝(8＋1655，855)或OB→＝(8－1655，－855)．(2)∵a∥AB→，∴t＝－2ksinθ＋16，∴tsinθ＝(－2ksinθ＋16)sinθ＝－2k(sinθ－4k)2＋32k.∵k4，∴04k1，∴当sinθ＝4k时，tsinθ取最大值为32k.由32k＝4，得k＝8，此时θ＝π6，OB→＝(4,8)．∴OA→·OB→＝(8,0)·(4,8)＝32.