方差齐性检验

1第三节方差齐性检验2在单因子试验中，r个水平的指标可以用r个正态分布2,iiN，ri,,2,1表示．在进行方差分析时，要求r个方差相等，这时称为方差齐性．而方差齐性不一定自然具有．理论研究表明，当正态性假定不满足时，对F检验影响较小，即F检验对正态性的偏离具有一定的稳健性，而F检验对方差齐性的偏离较为敏感．所以，r个方差的齐性检验就显得十分必要．3所谓方差齐性检验是对如下一对假设作出检验：0H：22221n；（1H：诸2i不全相等．（8.3.1）很多统计学家提出了一些很好的检验方法，这里介绍几个常用的检验，它们是：Hartley检验，仅适用于样本量相等的场合；Bartlett检验，可用于样本量相等或不等的场合，但是每个样本量不得低于5；修正的Bartlett检验，在样本量较小或较大，相等或不等的场合均可使用．下面分别来叙述它们．4一、Hartley检验5当各水平下试验重复次数相等时，即mmmmr21，Hartley提出检验方差相等的检验统计量：2222122221,,,min,,,maxrrSSSSSSH．（8.3.2）它是r个样本方差最大值与最小值之比．这个统计量的分布尚无明显的表达式，但在诸方差相等的条件下，可通过随机模拟方法获得H分布的分位数，该分布依赖于水平数r和样本方差的自由度1mf，因此该分布可记为frH,，其分位数表列于附表10上．6直观上看，当0H成立，即诸方差相等22221r时，H的值应当接近于1，当H的值较大时，诸方差间的差异就大，H愈大，诸方差间的差异就愈大，这时应当拒绝（8.3.1）中的原假设0H．由此可知，对于给定的显著性水平，检验0H的拒绝域为frHHW,11，（8.3.3）其中frH,1为H分布的1分位数．7例8.3.1由四种不同牌号的铁锈防护剂（简称防锈剂），现在要比较其防锈能力．为此，制作40个大小形状相同的铁块（试验样品），然后把它们随机分为四组，每组10件样品．在每一组样品上涂上同一牌号的防锈剂，最后把这40个样品放在一个广场上让其经受日晒、风吹和雨打．经过一段时间后再行观察其防锈能力．由于防锈能力无测量仪器，只能请专家评分．五位受聘专家对评分标准进行讨论，取得共识．样品上无锈迹的评100分，全锈了的评0分．他们在不知牌号的情况下进行独立评分．最后把一个样品的5位专家所给分数的平均值作为该样品的防锈能力．数据列于表8.3.1上．8表8.3.1防锈能力数据及有关计算因子A（防锈剂）1A2A3A4A143.989.868.436.2239.087.169.345.2346.792.768.540.7443.890.666.440.5544.287.770.039.3647.792.468.140.3743.686.170.643.2838.988.165.238.7943.690.863.840.9数据ijY1040.089.169.239.7和iT431.4894.4679.5404.7均值iY43.1489.4467.9540.47组内平方和iQ81.0044.2842.3353.429这是一个重复次数相等的单因子试验．我们考虑用方差分析方法对之进行比较分析，为此，首先要进行方差齐性检验．选取检验统计量2222122221,,,min,,,maxrrSSSSSSH检验的拒绝域为frHHW,11．由于4r，91mf，05.0，查表得31.69,4,95.01HfrH，因此检验的拒绝域为31.61HW．10本例中，四个样本方差的观测值可由8.3.1中诸iQ求出，即00.9900.819121Qs，92.4928.449222Qs，70.4933.429323Qs，94.5942.539424Qs，由此可得统计量H的观测值9149.170.400.9,,,min,,,max2423222124232221ssssssssH．由于31.69149.170.400.9H，因此不拒绝原假设0H，可以认为四个总体方差间无显著性差异．11进一步，我们可用方差分析方法对四种不同型号的防锈剂比较其防锈能力．由表8.3.1的数据可以算出：24104321TTTTT，从而求得三个偏差平方和分别为50.161742112nTYSrimjijT，39Tf；47.159531212nTTmSriiA，3Af；03.221ATeSSS，36ef．把上述各项移到方差分析表上，可继续计算各均方和与F比，具体见表8.3.2．12表8.3.2防锈能力的方差分析表来源平方和自由度均方和F比因子A15953.4735317.82866.09误差e221.03366.14总和T16174.5039若给定显著性水平05.0，查表可得87.236,3,95.01FffFeA，由观测值所得的87.209.866F，故拒绝原假设0H，认为四种防锈剂的防锈能力有显著性差异．13二、Bartlett检验14在单因子方差分析中，设第i个样本方差为：iimjiijiifQYYmSi12211，ri,,2,1，其中im为第i个样本的容量（即试验重复次数），imjiijiYYQ12与1iimf为该样本的偏差平方和及自由度．由于误差平方和riieiriieeSffQfMS1211，它是r个样本方差22221,,,rSSS的（加权）算术平均值．15而相应的r个样本方差的几何平均数记为eGMS，它是erffrffeSSSGMS12222121，其中rnmffriiriie111．由于几何平均值不会超过算术平均值，故有eeMSGMS，其中等号成立当且仅当诸2iS彼此相等，如果诸2iS间的差异愈大，则此两个平均值相差也愈大．16由此可见，当诸总体方差相等时，其样本方差间不应相差较大，从而比值eeGMSMS接近于1．反之，在比值eeGMSMS较大时，就意味着诸样本方差差异较大，从而反映诸总体方差差异也较大．这个结论对此比值的对数也成立．从而检验（8.3.1）表示的一对假设的拒绝域应是dGMSMSWeeln1．（8.3.4）17Bartlett证明了：在大样本场合，eeGMSMSln的某个函数近似服从自由度为1r的2分布．具体是1~lnln2rGMSMSCfBeee，（8.3.5）其中eriiffrC1113111，（8.3.6）而且C通常会大于1．18根据上述结论，可取riiieeSfMSfCB12lnln1，（8.3.7）作为检验统计量，对于给定的显著性水平，检验的拒绝域为1211rBW，（8.3.8）考虑到这里的2分布是近似分布，在诸样本量im均不小于5时使用上述检验是适当的．19例8.3.2茶是世界上最为广泛的一种饮料，但是很少人知其营养价值．任何一种茶叶都含有叶酸，它是一种维他命B．如今已有测定茶叶中叶酸含量的方法．为研究各产地的绿茶的叶酸含量是否有显著性差异，特选四个产地绿茶，其中1A制作了7个样品，2A制作了5个样品，3A与4A各制作了6个样品，共有24个样品，按随机次序测试其叶酸含量（单位：mg），测试结果如表8.3.3所示．20表8.3.3绿茶的叶酸含量数据水平数据重复数和均值组内平方和1A7.96.26.68.68.910.19.671m9.571T8.2783.121Q1A5.77.59.86.18.452m5.372T7.5030.112Q1A6.47.17.94.55.04.063m9.343T5.8203.123Q1A6.87.55.05.36.17.464m1.384T6.3561.54Q24m4.168T77.41eS21首先要对其作方差齐性检验．从表8.3.3中数据可查得83.121Q，30.112Q，03.123Q，61.54Q．61f，42f，53f，54f．从而用公式iiifQS2，可求得14.221S，83.222S，41.223S，12.124S．22再从表8.3.4查得09.2eMS，由（8.3.6），可求得eriiffrC111311120151514161143110856.1．23再由（8.3.7），还可求得Bartett检验统计量的值riiieeSfMSfCB12lnln112.1ln541.2ln583.2ln414.2ln609.2ln200856.11970.0．24对给定的显著性水平05.0，查表得815.7141295.021r．由于815.7970.0B，所以不拒绝原假设0H，可以认为诸水平下的方差间无显著性差异．25平方和计算如下：50.23244.16861.3869.3455.3779.5722222AS，3Af；27.65244.1684.71.62.69.722222TS，23Tf；77.4150.2327.65eS，20ef．26方差分析见表8.3.4表8.3.4绿茶的叶酸含量的方差分析表来源平方和自由度均方和F比因子A23.5037.833.75误差e41.77202.09总和T65.2723若取显著性水平05.0，查表可得10.320,3,95.01FffFeA，由观测值所得的10.375.3F，故拒绝原假设0H，认为四种绿茶的叶酸的平均含量有显著性差异．27三、修正的Bartlett检验28针对样本量低于5时不能使用Bartlett检验的缺点，Box提出修正的Bartlett检验统计量BCAfBCfB12，（8.3.9）其中B与C如（8.3.7）与（8.3.6）所示，且11rf2211Crf，2122fCfA．29在原假设0H：22221n成立下，Box还证明了统计量B的近似分布是F分布21,ffF，对给定的显著性水平，该检验的拒绝域为2111,ffFBW，（8.3.10）其中2f的值可能不是整数，这时可以通过对F分布的分位数表施行内插法得到分位数．30例8.3.3对例8.3.2中的绿茶叶酸含量的数据，我们用修正的Bartlett检验再一次对方差齐性作出检验．在例8.3.2中已经求得0856.1C，970.0B，还可以求得3141f，4.68210856.11422Cf，319.7434.68220856.124.682A，322.00856.1970.09.74330856.1970.04.682B．对给定的显著性水平05.0，在F分布的分位数表上可查得60.2,34.682,395.095.0FF．由于60.2322.0B，所以不拒绝原假设0H，可以认为诸水平下的方差间无显著性差异．