函数极限求解方法的研究

渤海大学本科毕业论文（设计）函数极限求解方法的研究TheSubjectofUndergraduateGraduationProject(Thesis)ofStudyonthemethodoffunctionlimit学院（系）：数理学院专业：数学与应用数学（师范）学号：学生姓名：入学年度：2011年指导教师：完成日期：2015年4月19日渤海大学BohaiUniversity函数极限求解方法的研究摘要函数极限是高等数学的重要构成部分，是探究微积分的基础，因此对求解函数极限方法的探究就成了我们研究高等数学必经之路.求解函数极限方法的方法众多，例如:利用函数极限的定义、连续性、两个重要极限、泰勒公式、洛必达法则、级数收敛性等方法.本文系统地介绍了如何利用定义法、函数连续性、两个重要极限、无穷小量及等价无穷小代换、洛比达法则、级数、泰勒公式、定积分等求函数极限的技巧和方法，分析了不同方法之间的特点并结合相应的例子，指出了在求解函数过程中遇见的一些常见问题。关键词:函数极限;洛必达法则;无穷小量及等价无穷小代换；级数收敛性函数极限求解方法的研究TheSubjectofUndergraduateGraduationProject(Thesis)ofStudyonthemethodoffunctionlimitAbstractWeknowthatthefunctionlimitistheimportantpartofhighermathematics,isthebasisofresearchonmathematicalanalysisanddifferentialandintegralcalculus.Therefore,exploretothemethodofsolvingthefunctionlimitisourpathtostudythehighermathematics,themethodtosolvethefunctionlimitofmanylaws,suchas:usethedefinitionoffunctionlimit,continuity,twoimportantlimits,Taylorformula,Hospitallaws,seriesconvergenceandsoon.Thispapersystematicallyintroducestheusingthemethodofdefinition,functioncontinuity,twoimportantlimits,dimensionlessandequivalentinfinitesimalsubstitution,thantorule,series,Taylorformula,thetechniqueandmethodofdefiniteintegral,etcforfunctionlimit,andcombinedwiththecorrespondingexamples,pointsoutthesomeofthecommonproblemsmetintheprocessofsolvingfunction.Keywords:Functionlimit;Hospitallaws;Dimensionlessandequivalentinfinitesimalsubstitution;Theseriesconvergence函数极限求解方法的研究目录摘要..............................................错误!未定义书签。Abstract........................................................III引言..............................................................11.用定义法求函数的极限...........................................22.利用连续性求函数极限...........................................43.利用四则运算法则求函数的极限...................................54.利用两个重要极限求函数的极限...................................65.利用夹逼准则求函数的极限问题...................................76.利用洛必达法则求函数的极限问题.................................87.利用无穷小的性质及等价无穷小代换求函数的极限..................108.利用归结原则及柯西准则求......................................121、归结原则...................................................122、柯西准则...................................................129.利用级数求解函数极限问题......................................131、利用收敛数通项趋向零.......................................132、利用收敛级数余项趋向零.....................................133、利用级数11nnnxx的收敛性.................................1310.利用中值定理及泰勒定理求函数的极限问题.......................141、柯西中值定理...............................................142、积分中值定理...............................................1511.利用泰勒定理求函数的极限问题.................................1512.利用定积分求函数的极限问题...................................17结论.............................................................19参考文献.........................................................20函数极限求解方法的研究1引言我们都知道数学分析的研究对象是函数，而研究函数的主要方法便是通过对极限的的探究，故函数极限的学习一直是研究数学分析的重要内容之一。同时函数极限又是微积分的基础理论之一，因而可以说高等数学作为一门基本的学科便是通过极限来研究函数的，函数极限贯穿了高等数学学习的始终，离开了极限的思想高等数学就失去了基础的价值。通过我们对求解函数极限方法的总结会发现，求解函数极限的方法众多。本文是在考虑函数极限存在的前提下撰写的，下面介绍一下如何通过定义、连续性、两个重要极限、夹迫定理、洛必达法则、泰勒公式、中值定理、无穷小及其等价变换、级数、定积分等方法来求函数的极限问题，从而帮助大家系统的掌握如何求解极限问题的方法。通过对这些方法的学习，我们会发现求解极限的方法并不是一成不变的，并且方法众多灵活多变，每一种方法都有其优缺点，有其试用范围。只要一个函数极限存在，总会有一种或多种方法能用来求解它，希望通过以下给出的这些例题能够让我们更好的确定如何选取恰当的方法来求取函数的极限问题。当然以下只是列举了大部分函数的求解方法，求解函数极限方法并不只限这几种方法，还需要我们不断的去领悟、去体会。函数极限求解方法的研究21.用定义法求函数的极限用极限的定义或X定义证明函数极限问题时，关键的一点是找出或X，必要时可先将x限定在某一取值范围之内再进行讨论.定义1设f为定义在,m上的函数，A为定数，如果对任给的0存在正数(m)X，使得当xX时有()fxA,则称函数f当x趋于时以A为极限，记作lim()()()xfxAfxAx或下面列举两个应用X定义来求取函数极限的例子.例1证明limarctan2yy.证：任给0，因为arctan()2y所以可以得出arctan,22y由于不等式的左半部分对任何y都成立，故只需考察其右半部分y的变化范围即可.由此，可先限定2，则可得tan()tan()22y所以对任意的正数2，只需取tan()2M，则当yM时便有arctan()2y成立.则此题得证.例2证明21lim()2zzzz.证:设0z.对0，由于222211()=222()zzzzzzzzzzzzz222211=,222()zzzzzzzzzzz函数极限求解方法的研究3故可取12X,则当zX时有21(),2zzz即得21lim()2xzzz.定义2（函数极限的定义）设函数f在点0x的某个空心邻域00(,')Ux内有定义，A为定数，若对任给的0，存在正数'(),使得当00xx时有(x)Af，则称函数f当x趋于0x时以A为极限，记作00lim()()()xxfxAfxAxx或下面列举一些应用定义来求取函数极限的实例，通过这些实例我们来了解下如何利用定义求函数极限。例3证明221lim21zzz.证：由于21211zzz0,故对取，210z-12=11zzz则当时，有.故此题得证.例4证明lim226yy→2.证:对0，由(22)622yy成立，解得22y故取,2=于是,2对x∀有02y,因此22y－6,所以1lim226xy→.注1.一般情况下，我们需要先对Axf)(进行估计，从而得到0()fxALzz,这里的L往往是与0z有关的一个常数，当然这个估计也大多是在给定的一个z函数极限求解方法的研究4（比如01zz）的前提下得出的。注2.的取值的确定一般都要依赖于，但是并不是决定值的唯一的条件。在例4例中就把取得更小了一些，这取决于函数式放缩的程度。一般在运算中我们为了求解方便可采用适当放大的方法，但需要注意的是这种放大必须要做到“适度”，这样才能根据给定的来确定，同时还要注意此题中L不一定非要是整数，只要是正数就可以.注3.函数在所求点的极限与函数在此点是否连续无关，函数极限表示的是自变量趋向某点时函数值的变化规律.综上可得，虽然我们可以通过定义法求解一些函数极限过程，但并不可能每一道题都可以通过直接观察就可以总结出极限值，因此这种方法存在一定的局限性，不适合较为复杂的题目。2.利用连续性求函数极限由于一切初等函数在其定义域范围内都连续，所以求初等函数在其定义域内某点0x处的极限，可直接用00lim()()xxfxfx来求取。但是若0xx，则函数()fx在点0x是间断点，不能直接代入数值计算。而应根据具体函数的特征，对它进行适当的变形，这样再去利用函数的连续性求极限即可。下面举个具体的例子来探讨一下，如何利用连续性来求函数极限的问题.例1求极限22125lim.1yyyy解：22221251215lim2.111yyyy（）（）（）注1.由连续性可知如果函数000()ylim()().yyfyyfyfy在点连续，就有且22251yyy是有理函数，分母是210((,)yy.因此，它是），（上的连续函数.注