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聊城大学本科毕业论文(设计)1本本科科毕毕业业论论文文((设设计计))题目矩阵可逆的判定方法专业数学与应用数学作者姓名孙涛学号2010201117单位聊城大学指导教师姚炳学2014年5月教务处编聊城大学本科毕业论文(设计)2原创性声明本人郑重声明:所提交的学位论文是本人在导师指导下,独立进行研究取得的成果。除文中已经引用的内容外,论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果,也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体,均在文中以明确的方式表明。本人承担本声明的相应责任。学位论文作者签名:日期:指导教师签名:日期:聊城大学本科毕业论文(设计)3目录摘要...............................................................4Abstract............................................................51引言............................................................62准备知识.......................................................62.1基本概念.......................................................62.2矩阵可逆的性质.................................................83矩阵可逆的若干判定方法...................................................93.1定义法.........................................................93.2行列式判定法..................................................103.3秩判定法......................................................113.4初等变换判定法................................................123.5伴随矩阵判定法................................................143.6线性方程组判别定法............................................153.7(Hamilton-Caley定理)求逆矩阵..................................163.8特征值判定法..................................................163.9矩阵判定法...............................................174常见矩阵的可逆性.........................................................185其他逆矩阵的求法.........................................................215.1秩判定法求逆矩阵..............................................215.2用分块矩阵求逆矩阵............................................225.3拼接新矩阵.....................................................235.4-矩阵判定法.................................................24小结.........................................................................25考参文献.....................................................................26致谢........................................................................27聊城大学本科毕业论文(设计)4摘要对线性代数和代数学而言,矩阵是一个主要研究对象和重要工具,其中可逆矩阵又是矩阵运算理论的整体不可或缺的一部分。在矩阵理论,可逆矩阵所占的地位是不可替代的,在坐标轴旋转变换公式的矩阵表示、线性变换、线性方程组等理论研究中,它均有重要意义。而且由于在许多有关数学、物理,经济的实际问题中,常常需要通过建立合适的数学模型化为线性代数和代数学等的问题,因此可逆矩阵也是解决实际问题比较常用的工具之一。鉴于可逆矩阵具有重要的理论和实践意义,研究矩阵可逆的判别方法也就相当有必要了。本文结合所学知识并查阅相关资料,系统地整理并归纳总结了九种矩阵可逆的判别方法及其证明过程。其中,可逆矩阵判别方法主要包括定义判别法、伴随矩阵还给出了四种特殊矩阵可逆性的相关结论,最后针对这些判别方法选取了典型的例题,以便我们更好的掌握矩阵的判别方法。关键词:矩阵;逆矩阵;初等变换;伴随矩阵;聊城大学本科毕业论文(设计)5AbstractThematrixisamainresearchsubjectandanimportanttoolinlinearalgebraandalgebra.Theinvertiblematrix,whichplaystheroleoftheinvertiblenumberinrationalnumbers,isanessentialpartofthematrixtheory.Theveryimportantstatus,whichtheinvertiblematrixholdsinthematrixtheory,cannotbereplaced.Ithastheimportantmeaningforsolvinglinearequations,lineartransformationtheoryproblems,rotatingcoordinatetransformformulaofmatrixrepresentationtheory.AndInsolvingpracticalproblemssuchasmathematics,physics,economicandotherfields,itisoftenneedtoestablishpropermathematicalmodelsintolinearalgebraandalgebraissues.Thereforeitalsoisacommonlyusedtool,whichiswidelyappliedinpracticalproblem.Inviewofthefactthattheinvertiblematrixhasimportantsignificanceinboththeoryandpractice,thestudyofjudginginvertiblematrixisquitenecessary.Throughcombiningwithmyknowledge,referringtotherelevantmaterials,thispapersystematicallyorganizesandsummarizesninekindsofmethodsforjudginginvertiblematrix,whichcontaindefinitionmethod,theadjoinmatrixmethod,elementarytransformationmethod,linearequationsmethodandsoon,andtheproofprocess.Thispaperalsogivesfourspecialmatrixinvertibleconclusions.Finally,thispaperselectsseveraltypicalexamplesaimingatthesediscriminatemethods,sothatweknowthemethodsforjudginginvertiblematrix.【KeyWords】matrixinversematrixelementarytransformation聊城大学本科毕业论文(设计)6矩阵可逆的判定方法1引言矩阵理论是线性代数的一个主要内容,也是处理实际问题的重要工具,而可逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有重要地位.英国数学家西尔维斯特、凯莱在研究线性方程组时先后引入矩阵的概念.凯莱于1858年在《矩阵论的研究报告》中定义了两个矩阵相等、相加以及数与矩阵的数乘等运算和运算律并随后定义了转置阵、对称阵等概念;现在矩阵作为高等代数,这一伟大数学图腾的重要分支之一,在日常生活、学习、工作中都发挥了卓越的工具作用.而可逆矩阵是矩阵理论的一个基础支流,基于自身的性质特点,为更高层次矩阵问题的解决提供了便利,更是丰富了矩阵的理论内容.现今矩阵的发展十分迅速,如今它已经成为在物理、控制论、机器人学、生物学、经济学等学科的重要工具,广泛地被应用于数学、物理、经济等领域.2准备知识2.1基本概念定义3.1.1设A=(ija),B=(bij)s,C(a)nijijFb令称矩阵C为矩阵A与B的和,记为CAB.定义3.1.2设称矩阵D为数k与矩阵A的数量乘积,记为kDA定义3.1.3(a),B(b)ijsnijnmA其中1122,=1,2,3,ijijijinnjcabababis,;j=1,2,3,m.称矩阵C为矩阵A与矩阵的乘积,记为ABC.定义3.3.1设A为n阶方阵,若存在n阶方阵B使得ABEBA,则称A为可逆的(或非奇异的),并称B是A的逆方阵.(关于此定义,应注意:若矩阵A可逆,那么A的逆矩阵由A唯一决定.)定理3.2.1两个矩阵的和的秩不超过这两个矩阵的秩的和,即r()r(A)r().ABB定理3.2.2方阵乘积的秩不超过各因子的秩,即聊城大学本科毕业论文(设计)7r()min(),().ABrArB定理3.2.3方阵乘积的行列式等于矩阵因子的行列式的乘积,即.ABAB定义3.3.1设A为n阶方阵,若存在n阶方阵B使得ABEBA,则称A为可逆的(或非奇异的),并称B是A的逆方阵.(关于此定义,应注意:若矩阵A可逆,那么A的逆矩阵由A唯一决定.)定义3.3.2称矩阵nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111,为A的伴随矩阵,其中ijA为A中元素ija的代数余子式,而称其转置矩阵(A)T=(ijA)nn为矩阵A=(ija)nn的代数余子式矩阵.定理3.3.1矩阵A可逆的充要条件是:A时非退化的,而且A可逆时,11AAA.(3-3-3)定理3.3.2设AsnF,如果P是n价可逆矩阵,Q是n价可逆矩阵,那么AQrPArAr=rPAQ定义3.4.1由单位矩阵E经过一次初等变换而得到的矩阵称为初等矩阵.定义3.4.2如果矩阵B可以从矩阵A经过一系列初等变换而得到,则称矩阵A与B等价,记为AB.矩阵的等价是一个等价关系,他满足以下三条性质:(1)自反性:AA.(2)对称性:若AB,则BA.(3)传递性:若AB,BC则AC.定理3.4.2任意一个ns矩阵A都与一形式为1000010000100001聊城大学本科毕业论文(设计)8的矩阵等价,它称为矩阵A的等
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