高三一轮总复习理科数学新课标第4章-第4节

菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）第四节平面向量应用举例考纲传真1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．向量在几何中的应用(1)证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理：a∥b⇔⇔x1y2－x2y1＝0(b≠0)．(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：a⊥b⇔⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)平面几何中夹角与线段长度计算，①cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22，②|AB|＝|AB→|＝AB→2＝.a＝λba·b＝0x2－x12＋y2－y12菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．向量在物理中的应用(1)向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用．(2)向量在速度的分解与合成中的应用．(3)向量的数量积在合力做功问题中的应用：W＝f·s.3．向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若AB→∥AC→，则A，B，C三点共线()(2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决()(3)在△ABC中，若AB→·BC→0，则△ABC为钝角三角形()菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(4)已知三个力f1，f2，f3作用于物体同一点，使物体处于平衡状态，若f1＝(2,2)，f2＝(－2,3)，则|f3|为5()【解析】(1)、(2)显然正确．在(3)中，AB→·BC→＝－BA→·BC→0，BA→·BC→0，则B为锐角，△ABC不一定为钝角三角形，(3)不正确．(4)中，由题意知f1＋f2＋f3＝0，∴f3＝－(f1＋f2)＝(0，－5)，∴|f3|＝5.(4)正确．【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．(人教A版教材习题改编)若AB→·BC→＋AB→2＝0，则△ABC为()A．钝角三角形B．锐角三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形【解析】AB→·BC→＋AB→2＝0化为AB→·(BC→＋AB→)＝0，即AB→·AC→＝0，所以AB→⊥AC→.所以△ABC为直角三角形．【答案】D菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）3．(2012·陕西高考改编)设向量a＝(1，cosθ)与b＝(－1,2cosθ)垂直，则cos2θ等于________．【解析】a＝(1，cosθ)，b＝(－1,2cosθ)．∵a⊥b，∴a·b＝－1＋2cos2θ＝0，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝0.【答案】0菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）4．河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为________．【解析】如图所示，υ1表示河水的速度，υ2表示小船在静水中的速度，υ表示小船的实际速度，则|υ2|＝|υ1|2＋|υ|2＝226(m/s)．【答案】226m/s菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）5．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足OP→·OA→＝4，则点P的轨迹方程是________．【解析】由OP→·OA→＝4，得(x，y)·(1,2)＝4，即x＋2y＝4.【答案】x＋2y－4＝0菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向1向量在平面几何中的应用【例1】已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|PA→＋3PB→|的最小值为________．【思路点拨】以直角顶点为原点建立平面直角坐标系，用参数表示出点P、C、B、A的坐标，进而表示出|PA→＋3PB→|，然后转化为函数问题求解．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝y.则D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，y)，PA→＝(2，－y)，PB→＝(1，a－y)，菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）∴PA→＋3PB→＝(5,3a－4y)，则|PA→＋3PB→|2＝25＋(3a－4y)2，由点P是腰DC上的动点，知0≤y≤a.因此当y＝34a时，|PA→＋3PB→|2的最小值为25.∴|PA→＋3PB→|的最小值为5.【答案】5菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法1平面几何问题的向量解法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决(如本例)．(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练1在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2,1.若M，N分别是边BC、CD上的点，且BMBC＝CNCD.则AM→·AN→的取值范围是________．【解析】设BMBC＝CNCD＝λ，则0≤λ≤1.在矩形ABCD中，以AB→、AD→为基底，则AM→＝AB→＋BM→＝AB→＋λBC→＝AB→＋λAD→，AN→＝AD→＋DN→＝AD→＋(1－λ)DC→＝AD→＋(1－λ)AB→.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）又AD→·AB→＝0，且|AB→|＝2，|AD→|＝1，∴AM→·AN→＝(AB→＋λAD→)·[AD→＋(1－λ)AB→]＝λAD2→＋(1－λ)AB2→＝4－3λ.由于0≤λ≤1，则1≤4－3λ≤4，于是AM→·AN→的取值范围是[1,4]．【答案】[1,4]菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向2向量在三角函数中的应用【例2】(2014·济南质检)设a＝(cosα，(λ－1)sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，(λ＞0,0＜α＜β＜π2)是平面上的两个向量，若向量a＋b与a－b互相垂直．(1)求实数λ的值；(2)若a·b＝45，且tanβ＝43，求tanα的值．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【思路点拨】(1)利用(a＋b)⊥(a－b)得到|a|2－|b|2＝0，建立关于λ的方程求解．(2)根据a·b＝45，求出cos(α－β)，然后求出tan(α－β)，再求tanα.【尝试解答】(1)由题设可得(a＋b)·(a－b)＝0，即|a|2－|b|2＝0，代入a，b坐标，得cos2α＋(λ－1)2sin2α－cos2β－sin2β＝0.∴(λ－1)2sin2α－sin2α＝0，∴(λ2－2λ)sin2α＝0.∵0＜α＜π2，∴sinα≠0，∴λ2－2λ＝0，∴λ＝2(λ＞0)．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)由(1)知，a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)＝45，∵0＜α＜β＜π2，∴－π2＜α－β＜0，∴sin(α－β)＝－35，tan(α－β)＝－34.∴tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－β·tanβ＝－34＋431－－34×43＝724.∴tanα＝724.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法21.解答本题(1)的关键是把向量垂直转化为数量积为0，解答本题(2)的前提是利用a·b的值求出cos(α－β)的值．2．平面向量与三角函数结合的题目的解题思路通常是将向量的数量积与模经过坐标运算后转化为三角问题，然后利用三角函数基本公式求解．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练2(2013·辽宁高考)设向量a＝(3sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈0，π2.(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．【解】(1)由|a|2＝(3sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，|b|2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈0，π2，从而sinx＝12，所以x＝π6.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)f(x)＝a·b＝3sinx·cosx＋sin2x＝32sin2x－12cos2x＋12＝sin2x－π6＋12，当x＝π3∈0，π2时，sin2x－π6取最大值1.所以f(x)的最大值为32.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向3向量在物理中的应用【例3】如图4－4－1所示，已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，F的大小为50N，F拉着一个重80N的木块在摩擦因数μ＝0.02的水平平面上运动了20m，问F、摩擦力f所做的功分别为多少？图4－4－1菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【思路点拨】力在位移上所做的功，是向量数量积的物理含义，要先求出力F，f和位移的夹角．【尝试解答】设木块的位移为s，则F·s＝|F|·|s|cos30°＝50×20×32＝5003J，F在竖直方向上的分力大小为|F|sin30°＝50×12＝25(N)，所以摩擦力f的大小为|f|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，所以f·s＝|f|·|s|cos180°＝1.1×20×(－1)＝－22J.∴F，f所做的功分别是5003J，－22J．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法31.应善于将平面向量知识与物理有关知识进行类比．例如，向量加法的平行四边形法则与物理中力的合成类比，向量基本定理可与物理中力的分解类比．物理学中的“功”可看作是向量的数量积的原型．2．用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为物理问题．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练3一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()A．27B．25C．2D．6【解析】如图所示，由已知得F1＋F2＋F3＝0，∴F3＝－(F1＋F2)．F23＝F21＋F22＋2F1·F2＝F21＋F22＋2|F1||