洛必达法则求极限的陷阱

1洛必达法则求极限的陷阱作者：他山石求解函数的极限，是高等数学最重要的必考内容之一，而洛必达法则似乎就是解开00型和型未定式的“万能钥匙”。然而，需要指出的是，对洛必达法则的使用不能过度迷信，运用洛必达法则求极限，除了要注意该法则的适用条件，还要注意拓宽思路，加强与其他方法的结合使用，以免陷入单道误区陷阱。下面举例予以说明。第一题（同济版高数习题3-2）：xxxxcossec)1ln(20lim运用洛必达法则对分子分母分别求导：xxxxcossec)1ln(20lim＝xxxxxxsintansec1220lim可以看到，第一步求导后得到的算式，似乎并未比原式变得简单，如果再次运用洛必达法则，得到的算式将会更加复杂。盲目求导不仅不能使运算简化，反而可能使问题更加难解，这就是洛必达法则的运用陷阱。其实，对于本题，如果巧妙地运用等价无穷小替换，解题的过程将会变得非常简单。这是因为当0x时，22~)1ln(xx，2~cossecxxx。经过等价无穷小替换后，得到算式如下：xxxxcossec)1ln(20lim＝220limxxx＝1除了直接等价无穷小替换外，还可采用下面的方法求解本题的极限：将原题的分2子分母同时乘以xcos，得到：)cos(seccos)1ln(cos20limxxxxxx＝xxxx220cos1)1ln(coslim＝xxxx220sincoslim＝220limxxx＝1第二题(2018年考研数学二真题）：xxxxarctan)1arctan(2lim看到上面的题目，大概部分考生的第一反应，就是对它进行下面的变形：xxxxarctan)1arctan(2lim＝21arctan)1arctan(limxxxx变形之后，原式“貌似”化作00型的未定式，很容易让人想到运用洛必达法则求极限。如果真的按照上面的思路解题，则正好中了命题老师的圈套，有兴趣的同学不妨试一试，看一看求导的结果会是什么。那么，本题正确的解法是什么呢？同学们知道，对于反正切函数，有下面的等式成立：abbaba1arctanarctanarctan这里，我们令1xa，xb，则有：211arctanarctan)1arctan(xxxx，并且当x时，0112xx，2211~11arctanxxxx。于是，可得：3xxxxarctan)1arctan(2lim＝22111arctanlimxxxx＝22111limxxxx＝11112limxxx＝1第三题(自拟）：xxxxxxxsinsin22lim第一眼看上去，似乎应属于型未定式，如果应用洛必达法则，将会得出下面的结果：xxxxxxxsinsin22lim＝xxxxxxxxxcossin2cossin2lim＝xxxxxxxxxsincoscos2sincoscos2lim＝)cossin3(cossin3limxxxxxxx＝－1连续三次应用洛必达法则，最终得到的答案是－1，但是非常遗憾，这个结果却是错误的，本题的正确答案是1。正确的解法应当是这样的：将原式的分子分母同时除以2x，注意到xsin是有界函数，并且当x时，01x，这样就可以求得下面的结果：4xxxxxxxsinsin22lim＝xxxxxsin1sin1lim0＝1第四题(2016考研数学一真题）：200cos1)sin1ln(limxdttttxx这道题不仅要计算极限，而且还包含有变上限积分、三角函数、对数函数等诸多知识点，一味运用洛必达法则势必陷入困难。如果与等价无穷小相结合，解答起来则要简单许多。解题过程如下：200cos1)sin1ln(limxdttttxx＝20sin2sin1lnlimxxxxxx＝3202sinlimxxxx＝3302limxxx＝1/2第五题(自拟）：)11()ln(seclim0xxxxx很明显，这道题属于00型未定式，符合洛必达法则的应用条件，但求解的过程将会困难重重。所以，仍然推荐采用等价无穷小替换。对于本题的分母，当0x时，xxx~11，2~)11(xxxx。可是分子)ln(secx与什么样的无穷小等价呢？通常，高数教科书都是这样说的，当0x时，xx~)1ln(。然而)ln(secx里面并不包含数字1，该如何解决呢？其实，本题的分子里虽然没有1，但我们可以设法凑出1。解题过程如下：5)11()ln(seclim0xxxxx＝20)]1(sec1ln[limxxx＝201seclimxxx＝2202limxxx＝21