高等数学数列极限收敛60道典型例题分步骤详解

11高等数学数列极限收敛60道典型例题分步骤详解数列收敛，换言之就是数列极限存在，此类问题历来都是高数考试的重点和难点，也是倍受命题老师青睐的“宠儿”。数列收敛题型大致可分为两大类：第一类，数列的一般项（也称“通项”）已知；第二类，数列的一般项（通项）未知，尤其是由递推公式给出的数列，请务必重点关注。本文精选了60道数列收敛典型例题，每道题都给出了详细的解题步骤。网友们请注意，本文60个例题中如果用方括号标明年份的，均为当年考研真题。第一类数列的一般项（通项）已知1.【2008真题】设，求极限解：原式==.具体求解过程如下（运用“两边夹”定理）：2.解法（一）原式=解法（二）原式==223.解法（一）分子有理化（分母视为“1”）原式==解法（二）利用等价无穷小替换原式=【注：】=4.解法（一）解法（二）原式=【注：为有界函数,】5.解：本题求极限，推荐“两边夹定理”。解题过程如下：令33显然可知，当时因此，根据“两边夹定理”得到6.解：本题求极限推荐“两边夹定理”.令，则可得到7.解原式====8.44解原式==【注：】===9.解法（一）利用公式原式=【注：】==１解法（二）利用拉格郎日中值定理，注意求导公式．原式=【注：】==１10.解：原式=。正确的解法如下：原式=55==【注：】===11.解法（一）利用等价无穷小替换原式=【注：】===解法（二）利用中值定理，注意求导公式原式=【注：】==12.【2002真题】，66解法（一）利用等无穷小替换原式===解法（二）利用“两边夹定理”，【注意：】原式=13.解法（一）利用拉格郎日中值定理，注意求导公式原式=【注：】=解法（二）利用等价无穷小替换原式==【注：】77=14.解：此数列求极限推荐等价无穷小替换。解法如下：原式==【注：】==【注：】==15.解法（一）利用等价无穷小替换原式=【注：】==88【注：归结原则】解法（二）利用拉格郎日中值定理，注意求导公式.==【注：】==16.解：本题求极限，“两边夹”定理、单调有界准则、定积分定义等方法似乎均不太“给力”，需将变量连续化，也就是将离散变量n替换为连续变量x，再运用包括洛必达法则在内的求解函数极限的方法.详细过程如下：9917.解法（一）利用导数定义原式==【注：】===【注：的指数部分，正是按定义所求的函数在处的导数.】=【注：】=解法（二）拉格郎日中值定理，注意求导公式.1010原式=====【注：】==【注：本题推荐中值定理。】18.解：本题求极限需运用洛必达法则原式==【注：】==111119.【分析】根据极限的四则运算法则，商的极限等于极限的商。利用第1题的结论，可知分母的极限等于3，所以本题的关键是求解分子的极限。方法如下：解法（一）分子有理化原式=解法（二）等价无穷小替换原式=【注：】==20.解：本题推荐“两边夹”定理。21.解法（一）分子有理化1212原式=解法（二）利用中值定理，注意求导公式原式==【注：】22.【1995真题】解：本题求极限需运用“两边夹定理”。令，则可得到23.解：本题求极限需利用公式，解题过程如下：131324.解：本题求极限推荐“两边夹定理”，过程如下：令原式=，其中：则有下面的不等式成立25.解：令，等式两端同时乘以，得到原式=141426.解：本题求极限需应用定积分的定义原式======27.解：令因此得到151528.【2019真题】解：因此得到原式=29.解法（一）将数列表达式“裂项”变形因此得到原式=解法（二）利用“两边夹定理”30.解：本题实际上是对首项为，公差为的等差数列前n项和求极限，所以得到1616原式=31.解：本题求极限，需利用定积分的定义.原式==32.解：本题求极限，推荐应用定积分的定义.原式=【注:】========33.1717解：本题求极限，需“两边夹定理”与定积分定义相结合。记，则可得到34.A.B.C.D.解：本题需运用定积分的定义原式==1818=【注：令】=因此可知，答案为B.35.解：本题求极限，推荐采用“两边夹定理”。但是根号下究竟哪一项最大，哪一项又是最小呢？我们知道，单调增加，因此可以判定根号下最小，最大。详解过程如下：记，则可得到36.【2012真题】解：本题求极限，需利用定积分的定义。具体过程如下:原式=1919===37.设，求数列极限.解：本题求极限需将数列一般项（通项）变形。具体过程如下：38.设，求数列极限.解：同第46题类似，本题求极限也需将数列一般项变形。详解过程如下：202039.【2017真题】解：本题求极限需利用定积分的定义。详细过程如下:原式====40.【2010真题】A.B.C.D.解：由于，所以得到原式==2121=因此可知，正确答案为D.41.解：原式42.解：本题求极限需“两边夹定理”与定积分定义相给合。具体求解过程如下：令，显然可知利用前面第41题的结论，得到,所以原式的极限为222243.解：原式=====44.，解：本题求极限，推荐“两边夹定理”，详解过程如下：因此可得故根据“两边夹定理”可知232345.解：本题求极限需“两边夹定理”与定积分定义相结合.令=由于，所以.因此可得46.解：本题求极限亦需“两边夹定理”与定积分定义相结合.令，则可得到2424第二类数列的一般项（通项）未知47.【2018真题】设数列满足：，，证明数列收敛并求极限.解：证明数列收敛，即证明该数列单调有界。过程如下：2525第一步：证明有界即数列有下界.第二步：证明单调，此处推荐运用中值定理。即数列单调减少。前面已证数列有下界，所以极限存在。第三步求极限.设，由于前面已经证明，所以可知，因此可得即48.设，，证明：数列{}极限存在并求此极限。解：证明数列极限存在，通常就是要证明数列单调有界。详解过程如下：依题意，可知.，数列有下界。，数列单调减少。数列{}单调减少且有下界，所以极限存在。设，对等式两边求极限，得到即数列{}的极限为262649.设，，求极限.解：这里再次强调，用递推关系式给出的数列求极限，除非能直接写出通项（一般项）表达式，否则无论题目是否要求，均应事先证明极限存在，然后再计算极限数值，切记！否则将会严重失分！！第一步：证明数列单调有界，极限存在。，易知，即数列{}有下界。,数列{}有上界。由数列通项，作函数，求导得到，数列{}单调。数列{}单调且上、下界都存在，所以极限存在。【注意：证明数列单调必不可少！因为数列上、下界均存在，极限未必存在。如，显然上界为2下界为0，但极限不存在。】由于前面已证，所以设极限，则有下列等式成立即【说明：通常证明数列极限存在，须证明单调减少有下界，或者单调增加有上界。但是对于本题，由题目所给条件，，我们证明了该数列单调并且上、下界均存在，所以无论单调增加或减少，极限均存在。】50.设，求数列极限.2727解：第一步，证明极限存在依题意，易知，，数列有下界。，数列单调减少。由于数列单调减少有下界，所以极限存在。第二步，计算极限数值【注意！】本题求数列极限，若根据前面的经验如法炮制，设极限，对递推公式的两端求极限，将会得到，极限值无法求出！所以此路不通！那么，该如何求出本题的极限呢？事实上，由，当时，我们可以得到或者即数列的极限值为282851.设，求数列极限.解：本题求极限，需设法求出数列一般项（通项）的表达式。解题过程如下：依题意，，得到52.设，证明数列{}极限存在并求此极限。解：【证明极限存在】根据题设条件，可得，数列有下界。由，作函数，求导可得单调减少。前面已证数列有下界，所以极限存在。2929【计算极限值】设，对递推公式等号两端求极限，得到所以，数列的极限为53.设，求数列极限.解：由题设条件，可知.令,则可得到所以可得故所求数列极限为54.（1）证明：当时，3030（2）设，求极限.解：（1）对于此类不等式的证明，推荐中值定理。注意：.所以，当时，【证毕】（2）由题设条件，可知根据第（1）步的证明，可知又由于所以，根据“两边夹定理”可知55.设，求数列极限.解：由题目所给条件，可知，数列有下界。另外，根据递推公式，作函数，可得，因此判定原数列不单调。3131对于不单调的数列，求极限的思路为（1）假设极限存在并求之；（2）用数列极限的定义对所求的极限予以证明。（1）求数列极限：设，由递推公式得到【切记：此步骤只应写在草纸上，不可直接写在答卷上！！】（2）用定义证明故得到（证毕）56.设，试求.解：本题是披着“积分”外衣的数列极限，求解过程如下：323257.解：依题意，可写出递推关系式，显然.【注：在草稿纸上由递推公式，设，，解出，不可写在答卷上，切记！！】用定义证明该数列的极限值等于2，过程如下：由于【注：分子有理化】因此原式的极限为【注：对于由递推关系式给出的数列求极限，通常的方法需首先证明数列单调有界极限存在，然后再求出具体极限值。本题给出的解法则直奔主题，先算出极限值（心算或者在草稿纸上算出，切记不要直接写在试卷上！），再运用极限的定义予以证明，可谓“先斩后奏”！】333358.设，求数列极限.解：（一）证明数列有界.根据题设条件，得到，即数列上、下界都存在.因此可知，数列{}单调减少且有下界，所以极限存在.（二）求数列极限由于设前面已证，对该不等式的左右两端求极限，得到故数列极限为59.设，求数列极限.解：由题设条件，可知3434，所以数列上、下界均存在.对于数列的一般项（通项），作函数由于，因此可知数列单调，由于前面已证上、下界均存在，所以极限存在。设，对递推公式等号两端求极限，可得，即数列极限为60.设有数列，求极限.解：首先证明数列有（下）界，并且单调增加。依题意，。假设，则，所以由数学归纳法可知，数列有下界。对于数列的一般项，由于，所以数列严格单调增加且有下界.那么，数列上界是否存在呢？前面已证数列严格单调增加，如果有上界，则极限存在。在此前提下，不妨假设，由于，对该递推公式两端求极限，可以得到，与假设矛盾，故极限不存在数列无上界.【证毕】由于数列严格单调增加且无上界，因此可知.下面计算极限值。3535因此原式的极限为【附注】在求解n项和的数列极限时，有的题目运用“两边夹定理”，有的则是运用定积分定义。那么，究竟什么情况下应用“两边夹”，什么情况下应用定积分呢？下面我们举几个例子予以说明。求极限解：观察数列的通项表达式，分母由两部分组成：一个是固定不变的，另一个是从1变到，其中，对于类似这样的数列求极限，应用“两边夹定理”。求极限解：观察数列的通项表达式，分母同样由两部分组成：一个是固定不变的，另一个是从变到，最后达到与固定不变的同阶，对于类似这样的数列求极限，需应用定积分定义。原式==3636==通过上面的两个例子，我们可以得出下面的推断：求n项和的数列极限，何时运用“两边夹定理”，何时运用定积分定义，关键是要看数列通项表达式的分母，其可变化的部分能否达到与固定部分同阶。若最后能变化到同阶，则应用定积分定义，永远比固定部分低阶则运用“两边夹定理”。再看下面一个例子。求极限解：看得出来吗?本题求极限，仍需用到定积分定义，不建议用“两边夹”。这是因为，数列通项表达式分母的可变部分，最后同样能够达到与固定不变的同阶，所以需应用定积分定义求极限。