高数极限经典题详解（一）

1高数极限经典题详解（一）1.求数列极限)sin1(sinlimnnn本题求解极限的关键是用三解函数和差化积公式，将算式进行转化，进而解出极限，过程如下：由于nnsin1sin=21sin21cos2nnnn所以)sin1(sinlimnnn＝]21sin21cos2[limnnnnn＝])1(21sin21cos2[limnnnnn＝0这是因为，当n时，0)1(21sinnn，而21cosnn是有界函数，有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小，所以可得原式极限为0，即)sin1(sinlimnnn＝02.令Sn=nkkk1)!1(，求数列极限Snnlim解：)!1(1!1)!1(nnnnnkkk1)!1(＝))!1(1!1()!1)!1(1()!41!31()!31!21()!21!11(nnnn＝1)!1(1n所以，Snnlim＝))!1((lim1nknkk=[limn1)!1(1n]＝123.求数列极限)4321(lim132nnnqqqq，其中1q解：令Sn＝1324321nnqqqq，将等式两边同时乘以q，得到qSn=nnnqqnqqqq1432)1(4321将以上两式相减，可得（1－q）Sn＝nnnqqqqq)1(132上面的算式两边同时除以1－q，得到Sn=qnqqqqqqnn111132由于当1q且时n，0nnq（注：证明附后），1321nqqqqq11，所以Snnlim=2)1(1q-qnqnn1lim=2)1(1q即)4321(lim132nnnqqqq＝2)1(1q附注：关于0limnnnq的证明若1q且0q，当n时，0nq。但如何证明0limnnnq呢？对于这个问题，现解答如下：首先，对算式进行变形，得到nnnqlim==nnqn)1(lim变形后，计算表达式似乎变成了型未定式。注意，本题中自然数n为非连续3变量，无法运用洛必达法则求极限。但我们可以构造出一个辅助函数xxq，并且求证xxxqlim＝0（1q且0q），从而证明nnnqlim＝0。具体过程如下：对函数xxq进行恒等变形，得到xxxqlim＝xxqx)1(lim1q且0q，11q。可知，当x时，xq)1(.即xxqx)1(lim为型未定式。所以，应用洛必达法则，得到xxxqlim＝xxqx)1(lim＝)1ln()1(1limqqxx＝0.因此可知0limnnnq（1q且0q）.4.求数列限)]1(54[lim2nnnn解：将计算表达式变形，得到)1(542nnn＝)1(54)1(54222nnnnnn＝)1(54462nnnn＝)11(541462nnnn3（n）所以)]1(54[lim2nnnn＝3