高等数学导数与微分30题分步骤详解

高等数学导数与微分30题分步骤详解1.设，求解：求函数在（某一）点处的导数值，通常有两种方法：第一，先求出导函数，然后再计算的值；第二，直接运用定义计算点处的导数值，即利用公式。下面分别详解如下：1)第一种解法：先求出导函数，注意此处的解题技巧。令，其中，则，所以2)第二种解法：直接运用导数定义。由于，所以2.已知函数，则。【2017年数学（一）考研真题】解：本题的知识点在于：第一，函数求导后，奇偶性互换；第二，若为奇函数，则。由于为偶函数，则为奇函数，为偶函数，为奇函数，所以必有。3.设，求。解：为幂指函数，应先化为指数形式再求导。详细过程如下：4.设具有连续的导数，且，求。解：根据复合函数的求导法则，可得5.设函数在点的某邻域内有定义，且满足，，求的值。解：本题求解推荐泰勒展开式。注意，函数在某一邻域内有定义，未必在该邻域内连续，如取整函数[x]。解题过程如下：6.已知函数，求。解：令7.设函数，求。解：求分段函数的复合函数在点处的导数值，一般有两种方法：第一种方法，先求出复合函数的表达式，然后再求出处的导数值；第二种方法，先求出内层函数在点处的值，而后再计算外层函数的导数值。1)第一种方法，先求出复合函数的表达式。当时，,当时，,所以，得到2)第二种方法，先求出内层函数在点处的值。从上面的解题过程可以看出，第二种方法比较简捷，优先推荐。8.设函数，其导函数求在处连续，则实数的取值范围是。解：本题的正确答案为。详解过程如下：由于是分段函数，分段点处。当时，当时，由于在处连续，必有。9.设，则值分别是。A）B）c）D）解：本题的正确答案是选项C。已知导数在某点的值，确定其参数通常有两种解法：一是运用泰勒展开式，二是不用泰勒展开式。1)第一种解法：运用泰勒展开式。2)第二种解法：不用泰勒展开式10.设函数二阶可导，且，求极限。解：本题求解推荐两种方法：一是运用泰勒公式；二是不用泰勒公式。1)第一种解法：运用泰勒展开式。2)第二种解法：不用泰勒展开式。11.设，则。【2015年数学二考研真题】解：本题的正确答案为48，解题过程如下：12.已知，则。解：本题的正确答案为1。详解过程如下：1)第一种解法：利用导数定义。2)第二种解法：利用特殊函数。对于填空题，可在草稿纸上将抽象函数用某一个具体的、满足题目要求的特定函数来替换，方便快速解题。此处可令，则13.设，则。解：本题的正确答案为。解题过程如下：因此得到14.设函数在年的n阶导数。解：本题的正确答案为。解题过程如下：15.设函数在点处可导，且，求的值。解：函数在点处可导，则必连续。所以16.已知函数在点处可导，且，则。A）B）c）D）解：本题的正确答案为选项B。详解过程如下：17.试证明：当时，。证明：根据题设条件，当时，，所以。令，则，严格单调增加。因此可知，。（证毕）18.曲线在其拐点处的切线方程是。【2018年数学二、三考研真题】解：本题正确答案为。解题过程如下：依题意，，可知，，令，解得，代入曲线方程，得到拐点。拐点处切线的斜率为，所以切线方程为，即。19.设函数对于其定义域内的任意点均满足，且，则下面的结论正确的是。A）不存在B）c）D）解：本题的正确答案为选项B。解题过程如下：20.设函数在点处可导，试求的值。解：为分段函数，根据题设条件，可导必连续，所以在点处，必有。所以，。21.已知函数在的某一邻域内连续，且满足，则在点处。A）不可导B）可导且c）取得极大值D）取得极小值解：本题的正确答案是选项D。解题方法如下：由于，，根据函数极限的保号性，必有。所以，在处取得极小值。[注意]本题是填空题，只要答案不求过程。所以，可在草稿纸上将题目中的抽象函数用具体的或者特定的某一函数替换，只需这个函数满足题目要求即可。这里可令，显然满足，且是极小值点。所以立即可知选项D为正确答案。22.下列曲线中有渐近线的是。【2014年数学一，二考研真题】A）B）c）D）解：本题的正确答案是选项C。解题方法如下：1)若，则为曲线的水平渐近线；2)若，则为曲线的垂直渐近线；3)若可以表示为，其中，则即为曲线斜渐近线。本题所给出的四个选项中，仅有C项正确，其余选项均不满足前面三类渐近线中的任何一类。选项C的曲线满足前面的第3项条件，因为，所以是曲线的斜渐近线。23.已知当时，互为反函数，且，则。解：本题的正确答案是。解题方法如下：根据导数运算法则，反函数的导数是直接函数导数的倒数。由于互为反函数，依据题设条件，，可知。24.设函数在整个数轴上有定义，并且对于任意，均有，试求。解：根据题设条件，运用导数定义，得到25.设有方程，其中，为常数且，试证明：方程恰有一个实根。解：依题意，令，则因此，必然存在实数，使得函数值。又由于，所以严格单调增加，因此在区间内必然存在唯一的点，使得，即方程有唯一实根。26.已知函数，在区间内任取两实数，均满足不等式，则实数的取值范围是。解：本题的正确答案为。解题方法如下：函数在区间上连续，在内可导，根据中值定理，对于区间内任意两点，必然存在点，使得根据题设条件，可知，又由于取值的任意性，可知曲线在区间内，处处有斜率大于1的切线，因此必有下面的不等式成立：。显然在区间上严格单调增加，当时取得最大值6。所以，若满足题目要求，必有。27.设函数，则其导数不存在点的个数是。A）0B）1c）2D）3解：本题的正确答案是选项B，即有1点导数不存在。解题过程如下：解答本题需要了解下列知识点：函数在点处，若则导数存在（可导），反之则不存在（不可导）。这是因为所以，在点处导数存在（可导）。对于本题的函数，在点处，，所以点处导数不存在。在点处，，所以点处导数存在。28.设函数，则。解：本题的正确答案是。解题过程如下：对于这样的题目，通常的解法是先根据求导公式求出，然后再计算的值。这里，非常简单，但是对求导将会相当麻烦。所以，此处推荐直接运用导数定义。令，则所以，29.证明：。【2012年考研真题】证：令，则是偶函数，只需证明当时，。对求导，得到，即当时，单调增加，所以。【证毕】30.设函数由方程所确定，则曲线在点处的法线方程是。解：本题的正确答案是。解题过程如下：令，则，，，在点处法线的斜率为，法线的方程为，或者表示为。