高数极限习题50题分步骤详解

高数极限习题50题分步骤详解1.求极限)]12ln()12[ln(limnnnn解：依题意，对算式进行变形，得到原式＝1212lnlimnnnn＝12212lnlimnnnn＝)1221ln(limnnn【注：当n时，122~)1221ln(nn】＝122limnnn＝12.求极限xxxexxsin1lim3202解：本题为00型未定式，可运用洛必达法则求极限。因为)0(~sin43xxxx所以原式＝4201lim2xxexx＝30422lim2xxxexx（洛必达法则）＝2021lim2xexx＝xxexx42lim2（洛必达法则）＝2lim20xxe＝213.求极限2sin0cos)21(limxxxxx解：本题属于“幂指函数”，不适合直接应用洛必达法则求导。应先对算式适当变形，再求极限。过程如下：原式＝2sin0)1(cos]1)21[(limxxxxx（注：表达式的分子加1减1，恒等变形。）＝2sin01)21(limxxxx-201coslimxxx（注：和差的极限，等于极限的和差。）＝20sin2limxxxx-2202limxxx＝2202limxxx+21＝25（注：当时0x，.2~1cos,2~sin2~1)21(22sinxxxxxxx）4.求极限xxeexxxcos1320lim解：本题看似很复杂，其实完全可以通过两次运用洛必达法则求出极限，具体过程如下：因为)0(2~cos12xxx所以原式＝23220limxxeexxx＝xeexxx3220lim（第一次运用洛必达法则）＝1420limxxxee（第二次运用洛必达法则）＝35.求极限)1ln(2)cos(sin120limxxx解：本题可运用洛必达法则，但建议优先采用等价无穷小替换。方法如下：因为)0(~)1ln(22xxx，).0(2~2sin~)cos(sin122xxxx所以)1ln(2)cos(sin120limxxx＝22022limxxx＝416.求极限200cos1)sin1ln(limxdttttxx解：包含变上限积分的函数求极限，通常要运用洛必达法则。过程如下：原式＝20sin2)sin1ln(limxxxxxx（注：洛必达法则）＝302sinlimxxxxx（注：对分子分母均运用等价无穷小替换）＝3302limxxx（注：对分子再次运用了等价无穷小替换）＝217.求极限]lncos)1ln([coslimxxx解：本题求极限，首先应用三角函数和差化积公式，将表达式转化为乘积的形式，然后再求出极限。过程如下：因为xxlncos)1ln(cos＝2ln)1ln(sin2ln)1ln(sin2xxxx＝21lnsin2ln)1ln(sin2xxxx＝2)11ln(sin2ln)1ln(sin2xxx（注：当x时，01~)11ln(xx）＝)(021sin2ln)1ln(sin2xxxx所以]lncos)1ln([coslimxxx＝xxxx21sin2ln)1ln(sin2lim＝0（注意：2ln)1ln(sinxx为有界函数，)(021sinxx，有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小。所以，原式的极限值为0）8.求极限xxx1sin1lim0解：本题求极限首先应考虑到x1sin为有界函数。因为2111sin10x所以xxx1sin1lim0＝0（有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小。）9.求极限xxxx1arctan12lim2解：本题可应用等价无穷小替换求极限。因为)(1~1arctanxxx所以xxxx1arctan12lim2＝)112(lim2xxxx＝212limxx＝010.求极限xxxxcotcsclim0解：本题求极限，可直接运用洛必达法则，但采用等价无穷小替换更佳。因为)0(221~)cos1(sin1cotcsc2xxxxxxxx所以xxxxcotcsclim0＝xxx2lim0＝2111.求极限nnnsinlim解：本题仍推荐等价无穷小替换，过程如下：因为)(~sinnnn所以nnnsinlim＝)(limnnn＝12.求极限1)41(arctanlim2nnnn解：本题求极限，首先应将函数化为乘积的形式，这里要特别注意：1arctan4。求解过程如下：因为41arctannn＝1arctan1arctannn＝11111arctannnnn＝)(121~121arctannnn所以1)41(arctanlim2nnnn＝)121(lim2nnn＝21（分子分母同时除以n）13.求极限)]1(52[lim2xxxxx解：本题求极限，首先应将函数表达式去根号。具体过程如下：)1(522xxx＝)1(52)]1(52)][1(52[222xxxxxxxxx＝)1(5242xxx原式＝)1(524lim2xxxxx＝)11(5214lim2xxxx（将分子分母同时除以x）＝214.设函数)(54)(2baxxxxf，试确定ba,的值，使x时，)(xf为无穷小。解：本题的意思就是求解a,b为何值时，0)(limxfx。为此，令tx，将原式作如下变形：原式＝)(limtft＝)(54lim2batttt＝)(54)5()24()1(lim2222batttbtabtat＝0012a（2t的系数21a必须等于0，否则极限不存在。）求得a=1，或者a=-1.当a=1时，代回前面的算式，可得：)(54)5()24()1(lim2222batttbtabtat＝)(54)5()24(lim22btttbtbt＝154224lim2tttbt（洛必达法则）＝154224lim2tttbt（洛必达法则）＝04+2b=0，得到b=-2.同理，当a=-1时，得到b=2.所以，（a,b）=(1,-2),或（a,b）=(-1,2)15.求极限302sintanlimxxxxx解：本题求极限，可采用洛必达法则与等价无穷小替换相结合的方式，过程如下：302sintanlimxxxxx＝22032cosseclimxxxx（洛必达法则）＝2203)cos1()1(seclimxxxx＝2203)1(seclimxx-203)cos1(limxxx＝2203tanlimxxx-22032limxxx（注：当0x时，2~cos12xx）＝2203limxxx-22032limxxx（注：当0x时，22~tanxx）＝31-61＝6116.求极限)2121(limnnnn解：本题求极限优先推荐等价无穷小替换。)2121(nn＝)2111(n＝)(41)41(~)1211(nnnn原式＝nnn41lim＝4117.求极限nnn)]14[tan(lim解：本题可利用自然对数求极限。过程如下：令nx1，得到原式＝xxx10)]4[tan(lim＝xxxe)4ln(tanlim0)]4ln[tan(x＝]11)4ln[tan(x)0(1)4tan(~xx原式＝xxxe1)4(tanlim014tanxxxxxcos)4cos(sin4tan)4tan(1)4tan(（三角函数和差化积）因此，求解得本题的极限为原式＝4cos)4cos(sinlim0xxxxe＝2e（注：本题原式n为非连续变量，不可直接套用洛必达法则！）18.求极限2223lim32xxx解：本题求极限，依然推荐等价无穷小替换。过程如下：令2xt，得到原式＝ttt22)2(3lim30＝ttt283lim30＝21183lim30ttt)0(88331~11833tttt原式＝28lim0ttt＝41（注：第16、18题都用到了等价无穷小替换：当0x时，abxaxb~1)1(。）19.求极限242320)1()1(limxxxx解：本题可通过两次运用洛必达法则求出极限，但还是优先推荐等价无穷小替换。具体运算过程如下：242320)1()1(limxxxx＝242320]1)1[(]1)1[(limxxxx＝23201)1(limxxx-24201)1(limxxx＝2203limxxx-2204limxxx＝7注：本题求极限用到了等价无穷小替换：当0x时，abxaxb~1)1(。另外还运用到了和（差）的极限等于极限的和（差）这一运算法则。20.求极限pxpxxxxcossin1cossin1lim0（其中：p为常数且0p。）解：本题可通过运用洛必达法则求极限。pxpxxxxcossin1cossin1lim0＝pxppxpxxxsincossincoslim0（洛必达法则）＝p1（0p）21.求极限)cos1(lim2nnn解：令nx1，并且当n时0x，所以可得：原式＝)cos1(1lim20xxx)0(2)(~cos12xxx原式＝2)(1lim220xxx＝2222.设13113113113132nnx，求证nnxlim存在。证明：判断数列的极限是否存在，关键是要确定数列是否单调且有界。本题的证明过程如下：213101nnnx数列nx有（上）界。013111nnnxx数列nx严格单调增加。综合上述两个方面的因素，可知数列nx严格单调增加且有（上）界，因此推断nnxlim必然存在。23.设)2(642)12(531nnxn，（1）证明121nxn；（2）求极限nnxlim。解：（1）证明121nxn，可用数学归纳法。显然n=1时，3112141211x，即121nxn成立。假设n=k时，121)2(642)12(531kkkxk成立，那么n=k+1时，)22()2(642)12()12(5311kkkkxk＝1)1(21)1(22212kkkkxk1)1(21)1(22212121kkkkk（前面已假设121)2(642)12(531kkkxk成立。）＝1)1(21221)1(21212kkkkk（这一步只是为了看得更清楚，可以省略。）＝1)1(21221)1(212kkkk（这一步也是为了看得更清楚，同样可以省略。）＝1)1(2148438422kkkkk1)1(21k即n=k+1时，结论仍成立。所以，对于一切1n，均有121nxn成立。（2）求极限nnxlim：)2(642)12(5310nnxn)(0121nnnnxlim＝0（注：“两加夹”定理）24.求极限)(lim1112xxxaax（1,0aa）解：本题求极限，需先对算式适当变形。过程如下：1lnln111