任意角的三角函数定义

一、背景知识任意角的三角函数是三角学中最基本最重要的概念之一。三角学起源于对三角形边角关系的研究，始于古希腊的喜帕恰斯、梅内劳斯和托勒密等人对天文的测量，在相当长的时期里隶属于天文学。直到1464年，德国数学家雷基奥蒙坦著《论各种三角形》，才独立于天文学之外对三角知识作了较系统的阐说；14~16世纪，三角学曾一度成为欧洲数学的主要内容，研究的方面包括三角函数值表的编制、平面三角形和球面三角形的解法，三角恒等式的建立和推导等等。1631年，三角学输入中国，三角学在中国早期比较通行的名称是“八线”和“三角”。“八线”是指在单位圆上的八种三角函数线：正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线、正矢线、余矢线。随着科学的发展，三角函数成为研究自然界和生产实践中周期变化现象的重要数学工具，它在测量、力学工程和无线电学中有着广泛的应用。温故而知新sinBCAABtanBCAACcosACAABcotACABCACB对边邻边斜边在直角三角形ABC中，角A的取值范围是？（0o，90O）sin120o=?cos150o=?tan315o=?问题:任意角的三角函数定义xyoΑ的终边P（x，y）rsinyrcosxrtanyx思考：1、对于确定的角α，比值(如果有的话)与P点在α终边上的位置有无关系？2、可以看作一个函数？怎么对应？3、对于正弦、余弦、正切的定义，任意的角α都是有意义的吗？4、不同角在象限上的符号如何？[例题导练]:(3,4),sin,cos,tan.P例1已知角的终边上有一点求的值22:(3)45OPr解4sin5yr所以,3cos5xr4tan3yx练习2416.(4,3)(0),:sin,cos,tanPPaaa角的终边经过点求的值.22OP=(4)(3)5,(0)33(1)0,5,sin,554433cos,tan,554433(2)0,5,sin,554433cos,tan,55443430sin,cos,tan,5540raaaayaararaxayaraxayaararaxayaraxaaa解：当时当时当时,当343sin,cos,tan.554时,π72.4求角的各个三角函数值例分析：此题只给出角的大小，没有给出其终边上的任一点的坐标，因此我们首先根据角的大小确定终边的位置，并在终边上取任意一点并确定其坐标，再根据三角函数的定义求解。XYO4π7解：π7,,4,(1,1),x1,y1P如右图所示角是第四象限角它的终边是第四象限的角平分线在这条角一部分线上任取一点即22r1(1)2则根据三角函数的定义得：π7y12sin4r22，π7x12cos4r22π7y1tan14x1，P（1，-1）三角函数定义域由于角的集合以实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成以实数为自变量的函数。在弧度制下，正弦、余弦、正切函数的定义域如下：,2kkZsinyrcosxrtanyxRR任意角三角函数值在各象限的符号几个特殊角的三角函数值角α0o30o45o60o90o180o270o360o角α的弧度数sinαcosαtanα23220000000011111不存在不存在03462222112323332123课堂练习1、已知角α终边上的一点P的坐标如下，求角α的各个三角函数值。（1）P（1，-7）;（2）P（-5，2）;（3）P（1，0）.2、已知角α的值如下，求角α的各个三角函数值。πππ335(1)a;(2)a;(3)a-.422例2确定下列三角函数值的符号：711(1)cos;(2)sin(465);(3)tan12377(1)cos0.2112解：是第二象限的角，(2)-465=-2360+255-465sin(465)0.，即是第三象限的角，11511(3)233311tan0.3,即是第四象限的角，[探索]三种三角函数能否找到一种几何表示呢？sin(yMPMPrOP正弦线)cos(xOMOMrOP余弦线)tan(yATATxOA正切线)三角函数线xyoxyoxyoxyoα的终边α的终边α的终边α的终边TPMPMPMPMTAATATA(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)例1作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．332（1）；（2）．例2、用正弦线和余弦线证明：1cossin22例3求证：当为锐角时，．tansin1.sin0,cot0.()....2.(6,8)0).1/5.1/5.1/57/5.1/51/53.,sin2,cos2sin/2cos/2.0.1.2.3ABCDPaaaABCDABCD若且则角是第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角设角的终边过点则sin-cos的值为(或或若为第一象限角则和中必取正值的有个个个个sincostan4.()sincostan.1,3.1,3.1,1,3.3,1,35.sincos0,().,.,.,.,(2,3)(0),sincos__________sin____,cos_____,tan___xxxyxxxABCDABCDPttt函数++的值域是若则在第一二象限角第一三象限角第一四象限角第二四象限角6.若角终边过点则的符号为_探索：找出的基本关系与与tancossin例1．化简21sin4402cos80cos80221sin(36080)1sin80解：原式例2．化简12sin40cos402(sin40cos40)|cos40sin40|cos40sin4022sin40cos402sin40cos40解：原式