《高考调研》2015届高考数学总复习(人教新课标理科)配套课件：选修4-5-2 不等式的证明与柯西不

课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研第2课时不等式的证明与柯西不等式课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研2014•考纲下载1．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法．2．了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式．3．能利用均值不等式求一些特定函数的最值．课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研请注意！不等式的证明是中学数学的难点．柯西不等式只要求会简单应用.课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研1．证明不等式的方法(1)比较法；(2)综合法与分析法；(3)反证法、放缩法；(4)数学归纳法．课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研2．几个常见不等式(1)平均值不等式≥≥.(2)贝努利不等式若x∈R，且x－1，x≠0，n1，n∈N，则(1＋x)n1＋.nx11a1＋1a2＋…＋1anna1a2…ana1＋a2＋…＋ann课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研(3)柯西不等式①设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥.当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．②柯西不等式的向量形式：设α、β是两个向量，则|α·β|≤.当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．(i＝1naibi)2|α||β|课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研1．已知0a1b，且M＝11＋a＋11＋b，N＝a1＋a＋b1＋b，则M、N的大小关系是()A．MNB．MNC．M＝ND．不确定课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研答案B解析由已知得0ab1，故M－N＝11＋a＋11＋b－a1＋a－b1＋b＝1－a1＋a＋1－b1＋b＝21－ab1＋a1＋b0.故MN.课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研2．若x，y∈R且满足x＋3y＝2，则3x＋27y＋1的最小值是()A．339B．1＋22C．6D．7答案D课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研3．已知a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最小值为()A．3B．6C．9D．12答案C解析1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋(ba＋ab)＋(ca＋ac)＋(cb＋bc)≥3＋2＋2＋2＝9.课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研4．函数f(x)＝3x＋31－x的最大值＝________.答案6解析3x＋31－x＝3x＋3－3x，由柯西不等式，得(3x＋3－3x)2≤(12＋12)[(3x)2＋(3－3x)2]＝6.∴3x＋3－3x≤1＋1·3x＋3－3x＝6.课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研例1设s＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋nn＋1，求证：12n(n＋1)s12n(n＋2)．课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研【证明】s1×1＋2×2＋3×3＋…＋n×n＝1＋2＋3＋…＋n＝12n(n＋1)，s1＋22＋2＋32＋3＋42＋…＋n＋n＋12＝12[3＋5＋7＋…＋(2n＋1)]＝12n(n＋2)．∴12n(n＋1)s12n(n＋2)．【答案】略课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研探究1放缩法是不等式证明的基本方法，在不等式证明中几乎处处存在．(1)放缩法证明不等式时，常见的放缩依据或技巧主要有：①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(母)异分母(子)的两个分式大小的比较．缩小分母、扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值减小；全量不少于部分；每一次缩小和变小，但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩有时需便于求和．课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研(2)放缩法的注意事项：①舍去或加上一些项，如(a＋12)2＋34(a＋12)2；②将分子或分母放大(缩小)，如1k21kk－1，1k21kk＋1，1k2k＋k－1，1k2k＋k＋1(k∈N*，k1)等．③放大或缩小时注意要适当，必须目标明确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或过小，谨慎地添或减是放缩法的基本策略．课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研思考题1已知f(x)＝1＋x2，a≠b，求证：|f(a)－f(b)||a－b|.【证明】|f(a)－f(b)|＝|1＋a2－1＋b2|＝|a2－b2|1＋a2＋1＋b2＝|a－b||a＋b|1＋a2＋1＋b2≤|a－b||a|＋|b|1＋a2＋1＋b2|a－b||a|＋|b|a2＋b2＝|a－b|.【答案】略课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研例2已知x∈R＋，求函数y＝x(1－x2)的最大值．【思路】利用平均值不等式abc≤(a＋b＋c3)3(a0，b0，c0)求解．课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研【解析】∵y＝x(1－x2)，∴y2＝x2(1－x2)2＝2x2(1－x2)(1－x2)·12.∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，∴y2≤12(2x2＋1－x2＋1－x23)3＝427.当且仅当2x2＝1－x2＝1－x2，即x＝33时，取“＝”，∴y≤239.∴ymax＝239.【答案】239课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研思考题2设a，b，c为正实数，求证：1a3＋1b3＋1c3＋abc≥23.【证明】因为a，b，c为正实数，由平均不等式可得1a3＋1b3＋1c3≥331a3·1b3·1c3，即1a3＋1b3＋1c3≥3abc.所以1a3＋1b3＋1c3＋abc≥3abc＋abc.而3abc＋abc≥23abc·abc≥23.所以1a3＋1b3＋1c3＋abc≥23.【答案】略课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研例3(1)若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值及最小值点．【思路】由于3x＋4y＝2，则可以构造(32＋42)(x2＋y2)≥(3x＋4y)2的形式，从而使用柯西不等式求出最值．课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研【解析】方法一：由柯西不等式，得(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，①得25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥425.不等式①中当且仅当x3＝y4时等号成立，为求最小值点，课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研需解方程组3x＋4y＝2，x3＝y4，解得x＝625，y＝825.因此当x＝625，y＝825时，x2＋y2取得最小值，最小值为425，最小值点为(625，825)．课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研方法二：令a＝(3,4)，b＝(x，y)，则a·b＝3x＋4y，|a|＝32＋42＝5，|b|＝x2＋y2.∵|a·b|≤|a|·|b|(柯西不等式的向量形式)，∴|3x＋4y|≤5x2＋y2.∴x2＋y2≥|3x＋4y|225＝425.其他同方法一．【答案】最小值为425，最小值点为(625，825)课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研(2)(2013·湖南)已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．【解析】由柯西不等式，得(12＋12＋12)(a2＋4b2＋9c2)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12，当a＝2b＝3c＝2时等号成立，所以a2＋4b2＋9c2的最小值为12.【答案】12课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研探究2(1)利用柯西不等式证明不等式，先使用拆项重组、添项等方法构造符合柯西不等式的形式及条件，再使用柯西不等式解决有关问题．(2)利用柯西不等式求最值，实质上就是利用柯西不等式进行放缩，放缩不当则等号可能不成立，因此一定不能忘记检验等号成立的条件．课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研思考题3设x≥0，y≥0，z≥0，a，b，c，d，l，m，n是给定的正数，并且ax＋by＋cz＝δ为常数，求ω＝lx＋my＋nz的最小值．【解析】由柯西不等式，得ω·δ＝[(lx)2＋(my)2＋(nz)2]·[(ax)2＋(by)2＋(cz)2]≥(al＋bm＋cn)2，所以ω≥al＋bm＋cn2δ.课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研【答案】al＋bm＋cn2δ利用柯西不等式成立的条件，得x＝kla，y＝kmb，z＝knc，其中，k＝δal＋bm＋cn，它们使得ax＋by＋cz＝δ，且ω＝al＋bm＋cn2δ，所以ω的最小值为al＋bm＋cn2δ.课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研对于柯西不等式要特别注意其向量形式的几何意义，从柯西不等式的几何意义出发就得到了三角不等式，柯西不等式的一般形式也可以写成向量形式．课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研课时作业（九十四）