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3.1.3导数的几何意义1.曲线的切线βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的倾斜角..tan,,:xyyMQxMP则.就是割线的斜率表明:xyPQoxyy=f(x)割线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:xxfxxfxykxx)()(limlimtan0000切线这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.故曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是:))(()(000xxxfxfy即:0'()kfx切线例:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx.2)(2lim)11(1)1(lim)()(lim:2020000xxxxxxxfxxfkxxx解因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:先利用切线斜率的定义求出切线的斜率,然后利用点斜式求切线方程.例2如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数105.69.4)(2ttth的图象.根据图象,请描述、比较曲线在附近的变化情况.210,,ttt)(th解:可用曲线h(t)在t0,t1,t2处的切线刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况.(1)当t=t0时,曲线h(t)在t0处的切线l0平行于x轴.故在t=t0附近曲线比较平坦,几乎没有升降.(2)当t=t1时,曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h’(t1)0.故在t=t1附近曲线下降,即函数h(t)在t=t1附近单调递减.tohl0t0t1l1t2l2t4t3(3)当t=t2时,曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h’(t2)0.故在t=t2附近曲线下降,即函数h(t)在t=t2附近也单调递减.例2105.69.4)(2ttth.根据图象,请描述、比较曲线在附近的变化情况.210,,ttt)(th解:可用曲线h(t)在t0,t1,t2处的切线刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况.(1)当t=t0时,曲线h(t)在t0处的切线l0平行于x轴.故在t=t0附近曲线比较平坦,几乎没有升降.(2)当t=t1时,曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h’(t1)0.故在t=t1附近曲线下降,即函数h(t)在t=t1附近单调递减.tohl0t0t1l1t2l2t4t3(3)当t=t2时,曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h’(t2)0.故在t=t2附近曲线下降,即函数h(t)在t=t2附近也单调递减.从图可以看出,直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度,这说明h(t)曲线在l1附近比在l2附近下降得缓慢00()()()limlimxxyfxxfxfxyxx在不致发生混淆时,导函数也简称导数.000()()()()().yfxxfxfxfxx函数在点处的导数等于函数的导函数在点处的函数值什么是导函数?由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当x=x0时,f’(x0)是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:如何求函数y=f(x)的导数?(1)()();yfxxfx求函数的增量(2):()();yfxxfxxx求函数的增量与自变量的增量的比值0(3)()lim.xyyfxx求极限,得导函数•例2:试求过点P(3,5)且与曲线y=x.yxy例:已知,求xyxxxxxx解:1yxxxx0011limlim.2xxyyxxxxx看一个例子:(3)函数f(x)在点x0处的导数就是导函数在x=x0处的函数值,即。这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。)(0xf)(xf0|)()(0xxxfxf小结:(2)函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数。)(xf(1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数,不是变数。弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系。(1)求出函数在点x0处的变化率,得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。)(0xf(2)根据直线方程的点斜式写出切线方程,即).)(()(000xxxfxfy求切线方程的步骤:小结:无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求函数的导数的基本思想,丢掉极限思想就无法理解导数概念。
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