第五章 不定积分(内)

第五章不定积分微积分返回下页上页第五章不定积分§5.1不定积分的概念§5.2不定积分的性质§5.3基本积分公式§5.4换元积分法§5.5分部积分法第五章不定积分微积分返回下页上页一、原函数§5.1不定积分的概念()()Fxfx已知某商品总收入的变化率为()(),Rxgx这是与求导数相反的问题．().Rx求总收入函数定义5.1设)(xf是定义在某区间上的已知函数，(),Fx若存在函数使得)(xF)(xf的一个原函数.则称为()(),dFxfxdx或第五章不定积分微积分返回下页上页因为2()2,xx所以2x是x2的一个原函数.但22(1)(2)2,xxx所以x2的原函数不是唯一的．说明：1．原函数存在的条件：如果)(xf在某区间上连续,那么它的原函数一定存在（将在下一章证明）.2．若)(xf存在原函数，则原函数不是唯一。定理5.1若)(xF是)(xf的一个原函数，则CxF)(是)(xf的所有原函数，其中C为任意常数．第五章不定积分微积分返回下页上页证:由于()(),Fxfx所以函数族CxF)(中的每一个都是)(xf的原函数．[()]()(),FxCFxfx又另一方面，设)(xG是)(xf的任一个原函数，即()()Gxfx．则[()()]()GxFxGx()()()0.Fxfxfx所以CxFxG)()(CxFxG)()(，也即)(xf的任一原函数均可写成CxF)(的形式．第五章不定积分微积分返回下页上页二、不定积分定义5.2函数)(xf的全体原函数叫做)(xf的不定积分,记为().fxdx其中“”叫做积分号，)(xf叫做被积函数，x叫做积分变量，dxxf)(叫做被积表达式．由定理5.1知，若)(xF是)(xf的一个原函数,则()(),fxdxFxC其中任意常数C称为积分常数．第五章不定积分微积分返回下页上页Cxxdxsincos111[ln()]()xxxxxCxdxxln1xdxcos例1求不定积分(sin)cosxx解:dxx1例2求不定积分0x1(ln)xx解:当时，，0x时，当第五章不定积分微积分返回下页上页切线斜率为2,x求曲线方程．解:设所求曲线方程为)(xfy，则由题意知：2yx，故22.yxdxxC又因为曲线过点（1，2），所以2=1+C，得C=1，于是所求方程为21.yx一个原函数)(xF的图象称为)(xf的一条积分曲线,其方程为().yFx不定积分在几何上表示全体积分曲线所组成的曲线族，它们的方程是().yFxC例3设曲线过点（1，2）,且在横坐标为点x处的第五章不定积分微积分返回下页上页§5.2不定积分的性质一、不定积分的性质由不定积分的定义，可知性质1[()]()fxdxfx性质2()()FxdxFxC性质3被积函数中的常数因子可提到积分号外,即dxxfkdxxkf)()(（k为常数,且0k）.性质4两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即[()()]()().fxgxdxfxdxgxdx或()().dfxdxfxdx或()().dFxFxC第五章不定积分微积分返回下页上页性质3、性质4的证明，只要验证等式右端的导数等于左端的被积函数，并且右端确含一个任意常数．§5.3基本积分公式由于求不定积分是求导数的逆运算，所以由导数公式可以相应地得出下列积分公式：Ckxkdx)1(Cxdxx111)2(Cxdxxln1)3(Caadxaxxln)4(第五章不定积分微积分返回下页上页Cedxexx)5(Cxxdxsincos)6(Cxxdxcossin)7(Cxxdxtansec)8(2Cxxdxcotcsc)9(2Cxxdxxsectansec)10(Cxxdxxcsccotcsc)11(Cxdxxarctan11)12(2Cxdxxarcsin11)13(2第五章不定积分微积分返回下页上页22(1)()()ababab222(2)()2abaabb33223(3)()33abaababbsin(1)tancosxxx22(3)tansec1xxcos(2)cotsinxxx在求不定积分时，常用到代数公式和三角函数公式：同角三角函数公式：22(4)cotcsc1xx22(5)sincos1xx半角与倍角三角函数公式：211(2)sincos222xx211(3)coscos222xx22(1)cos2cossinxxx第五章不定积分微积分返回下页上页例1求不定积分1(1)().xxdxxdxxxx)1)(1(dxxxxx)11(dxxdxxdxdxxx1151222212.52xxxxC解:直接积分法:利用不定积分的性质和基本公式计算不定积分.关键:将被积函数作恒等变形,使之符合基本积分公式的要求.类型一:因式展开注意:在分项积分后，不必每一个积分结果都加上常数CC“”，只要在总的结果中加一个就行了．熟练后可省略(特点:积分中有多个因式相乘)第五章不定积分微积分返回下页上页例2求不定积分221.1xdxx22221(1)211xxdxdxxx2121dxdxx解:类型二:假分式化为整式和真分式之和.思考题:求421xdxx22(1)1dxx2arctan.xxC(特点:分子的最高次数大于或等于分母的最高次数)221(1)1xdxx3arctan.3xxxc第五章不定积分微积分返回下页上页例3求不定积分2tan.xdxdxxxdx)1(sectan22解dxxdx2sec类型三:利用三角函数公式转换.同理可求2cot.xdx注:tan,cotxx的偶次方幂一般可用例3的方法.tan.xxc22cot(csc1)xdxxdxcot.xxc第五章不定积分微积分返回下页上页例4求不定积分2cos.2xdx211cos(cos)222xdxxdx解:类型三:利用三角函数公式转换.(方法:降幂)同理可求2sin.2xdxxdxdxcos2121sin.22xxC注:被积函数为或sinxcosx的偶次幂一般应先降幂.211sin(cos)222xdxxdx11cos22dxxdxsin.22xxC第五章不定积分微积分返回下页上页例5求不定积分221(1)dxxx2222111()(1)1dxdxxxxx解:22111dxdxxx类型四:裂项.1arctan.xcx1111(1)()ababba1111(2)()ababba常数第五章不定积分微积分返回下页上页固定成本为3000元,求总成本函数.解:边际成本是总成本函数的导数,由题意知:故5()(3)310.Cxdxxxcx例6已知某商品的边际成本为5()3,Cxx5()3,Cxx已知固定成本为3000元,即300030100.c于是总成本函数为()3103000.Cxxx从而,得3000,c第五章不定积分微积分返回下页上页§5.4换元积分法一、第一换元积分法（凑微分法）例1求不定积分cos2.xdx分析:被积函数x2cos是复合函数，不能直接套用xdxcos的公式．我们可以把原积分作下列变形后计算：1cos2cos2(2)2xdxxdx1sin2uC21sin2.2uxxC21cos2uxudu第五章不定积分微积分返回下页上页例2求不定积分22.xxedx分析:注意到被积式中含有2xe项，而余下的部分恰有微分关系：22().xdxdx于是类似于例1，可作如下变换与计算：2222222().uxuxxxuuxxedxedxedueCeC同样可验证计算结果是正确的．一般，我们有如下的换元积分法:[()]()fxxdx[()].FxC则()ux可导，是定理5.2若的一个原函数，()Fu()fu第五章不定积分微积分返回下页上页证明:令()ux，根据复合函数的微分法，得[[()]]()()()()[()]()FxFuxfuxfxx因此，由不定积分的定义就得到了定理中的公式．利用第一换元积分法（也叫凑微分法）计算积分的一般步骤为：[()]()fxxdx)()]([xdxf凑微分duuf)(CuF)(ux)(令CxF)]([)(xu令第五章不定积分微积分返回下页上页例3求不定积分xdxxcossin2解被积函数中的一个因子为xuuxsin,sin22于是有22sincossinsinxxdxxdxCuduu3231Cx3sin31余下的因子xcos恰好是中间变量xusin的导数，第五章不定积分微积分返回下页上页例4求不定积分xxdx2ln解设xuln，则xdxdu．于是CxCuduuxdxxxdxln111lnln1ln222说明：在对变量代换方法熟悉后，可略去中间的换元步骤，直接凑微分后积分即可.例5求不定积分21xxedxe解221arctan11()xxxxxedxdeeCee第五章不定积分微积分返回下页上页例6求不定积分dxxxsinCxxdxdxxxcos2sin2sin解一些常用的类型：1(1)(),nnfaxbxdx()(2),fxdxx(3)(),xxfeedx(ln)(4)fxdxxnuaxb令ux令xue令lnux令第五章不定积分微积分返回下页上页(5)(sin)cos,fxxdx2(arctan)(9),1fxdxxsinux令(6)(cos)sin,fxxdxcosux令tanux令2(7)(tan)sec,fxxdx2(8)(cot),fxcscxdxcotux令arctanux令2(arcsin)(10),1fxdxxarcsinux令第五章不定积分微积分返回下页上页例7求不定积分22(0)dxaax22211()dxdxxaxaa21()1()xdaxa解：Caxaxadxarctan122类似得arcsinxCa第五章不定积分微积分返回下页上页221()()dxdxxaxaxa111[]2dxdxaxaxa1[lnln]2xaxaCa解111()2dxaxaxa例8求不定积分)0(22aaxdx1ln2xaCaxa])()([21axaxdaxaxda第五章不定积分微积分返回下页上页例9求不定积分xdxtansintancosxxdxdxx解Cxxdxsinlncot类似得注:tan,cotxx的奇次方幂一般可用例9的方法.上述几例中的积分结果可以作为公式使用.coscosdxxlncosxc1seclnsectancosxdxdxxxCx1csclncsccotsinxdxdxxxCx第五章不定积分微积分返回下页上页211sin(cos2)22xdxxdxxdxdx2cos2121)2(2cos4121xxdx例10求不定积分dxx2sinCxx2sin4121解第五章不定积分微积分返回下页上页例11求不定积分dxex111111xxxxeedxdxee(1)1xxdedxe2cos2cos112xdxdxx