数学物理方程与特殊函数课件17

0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n1本次课主要内容(一)、常微分方程求解(二)、积分方程求解拉普拉斯变换的应用(三)、偏微分方程定解问题求解0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n2内容回顾1、Laplace变换与逆变换的定义..0[()]()()stLftfsftedt.1.1[()]()()2istiLfsftfsedsi2、常用函数的Laplace变换1.[],ReReatcLcesasa222.[sin],Re0bLbtssb0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n3223.[cos],Re0sLbtssb114.[],Re0Ltss3、Laplace变换的几个主要性质1122112211111221122[()()][()][()][()()][()][()]LaftaftaLftaLftLaFsaFsaLFsaLFs(1).线性性质0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n4(5).积分定理..01[()][()]tLfdLfts(6).象函数的微分定理()[()()]nnndfsLtftds(7).象函数的积分定理..()()[]sftfdLt0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n5(2).延迟定理[()][()],(0)sLfteLft(3).位移定理0[()](),Re()atLeftfsasa(4）.微分定理2()12(1)[()][()](0)[()][()](0)(0)[()][()](0)(0)(0)nnnnnLftsLftfLftsLftsffLftsLftsfsff0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n6(8).卷积定理)]([)]([)]()([2121tfLtfLtftfL关于卷积的说明：1212()()()()ftftfftd012120()()()()fftdfftd12120()()()()ttfftdfftd120()()tfftd0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n74.展开定理1()Re(),,(0)nsxkkfxsfsesx(1)极点z0的阶：若00lim()()mzzzzfz非零常数则极点z0的阶为m。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n8(2)，留数公式若z0为f(x)的m阶极点，则：010011Re()lim()()(1)!mmmzzdsfzzzfzmdz(一)、常微分方程求解例1、求解常微分方程：0,(0)1xyyxyy0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n9(1)、对方程两边作拉氏变换：由线性性质有：[][][]0LxyLyLxy由像函数微分定理得：[]dLxyLyds又由微分定理得：2()(0)(0)Lysyssyy所以：2[](()(0)(0))Lxysyssyy0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n10[]()(0)Lysysy所以，得变换后的方程为：2(1)()()syssys(2)、求像函数：122()(1)yscs(3)、求原像函数：[]()dLxyysds对像函数作幂级数展开：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n11因为：22210(2)!(1)()2(!)nnnnnyscns所以：12221()(1)11cyscsss于是由展开定理得方程通解为：由初始条件得：2220(1)()2(!)nnnnyxcxn0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n12例2求解积分方程：.0()sin()()ftattfd解：由卷积定义，将方程写成：ttfattfsin)()(220(1)()2(!)nnnnyxxn(二)、积分方程求解0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n132211affss24aafss)6()(3ttatf(1)、对方程两边作拉氏变换：(2)、求像函数：(3)、由展开定理可求出原像函数：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n14首先指出：利用积分变换求解偏微分方程定解问题时，如果是初值问题，常采用针对空间变量的傅立叶变换求解，而如果是带有边界条件的定解问题，则常采用针对时间变量的拉氏变换求解。(三)、偏微分方程定解问题求解例3、求解硅片的恒定表面浓度扩散问题，在恒定表面浓度扩散中，包围硅片的气体中含有大量杂质原子，它们源源不断穿过硅片表面向硅片内部扩散。由于气体中杂质原子供应充分，硅片表面浓度得以保持某个常数N0，这里所求的是半无限空间x＞0中定解问题.解：定解问题为：0)0,0(,0002txxxtuNutxuau0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n15222000/xduasudxuNs(1)、对定解问题作针对于时间变量的拉氏变换：(2)、求像函数：ssxxaauAeBe(,)uxs0B0/ANs注意到：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n1601sxauNes11(,)[]sxauxtLes2.00.22(,)()2yxatxuxtNedyNerfcat所以有：(3)、求原像函数：2.1.212[]sxyaxatLeedys查逆变换表得：所以得：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n17问题：有同学认为：在上面定解问题中，x与t的变化范围都是(0,+∞)，所以，求解时，对x与t均可以作拉氏变换，对吗？为什么？解：所提问题归结为解定解问题答：不能！因为方程中含有uxx，而在x=0处，只给出了u(0,t)的值，而没有给出ux(0,t)的值，所以，不能作针对空间变量x的拉氏变换。例4一条半无限长的杆，端点的温度变化为已知，杆的初始温度为零。求杆上的温度分布规律。)(,0)0,0(,002tfuutxuauxtxxt0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n1822200xdusudxauf(,)()sxauxsfse(1)、对定解问题作针对于时间变量的拉氏变换：(2)、求像函数：(3)、求原像函数：1[]sxauLfe0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n19由卷积定理11[]()[]ssxxaauLfeftLe下面求1[]sxaLe由查表得：2.1.212[],(0)usyutLeedyus所以：2.1.212[]xsyaxatLeedys0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n20令：1(,)xsagsxes则：2.1.22[(,](,)yxatLgxsgxtedy1111[][][(,)]xxssaaLeLseLsgxss由于：注意到：2..0022lim(,)lim0yxttatgxtedy0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n21[()]()(0)Lftsfsf所以：由微分定理：1111[][][(,)]xxssaaLeLseLsgxss所以：11[][(,)(,0)]xsaLeLsgxsgx1[(,)(,0)]Lsgxsgx(,)gxtt0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n222122[]xsyaxatLeedyt即：所以,由卷积定理得到：223.14()2.0(,)[()]()()2xxstataxuxtLfsefteda224322xatxeat0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n23例5求解半无界弦的纯强迫振动定解问题：2000cos,(0,0)0,00,0ttxxxxxtttuautxtuuuu解:(1)作针对于时间变量的Laplace变换22222200,0xxxdussuadxsuu221()ssxxaauAeBess(2)、求像函数：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n24由条件：0A221()Bss221[1]()sxauess(3)、求原像函数：111222211[][][]()()sxaLuLLessss()2222Res[,]Res[,]()()xststakkkkeessssss0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n252211()2ititee2221(1cos)2sin2tt22Res[,]()stkkesss2()2222sin(),()2Res[,]()0,()xstakkxxtteaasxssta0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n26222212222sinsin(),()22()2sin,()2xxtttaauLuxtta所以原像函数为：例6、求解如下定解问题：2000,(0,0)0,0,0ttxxxxxtttuaugxtuuuu00.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n2722220/0,0xxxduasugsdxuu解:(1)作针对于时间变量的Laplace变换(2)、求像函数：31(1)sxauges0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n28211321t12[][(1)]1(2)t2sxaxgtaLugLexsgxatxaa(3)、求原像函数：例7、求解如下定解问题(习题5.4第5题)：000,(0,0)0()xxttttttxuaubucuxtuuut0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n2922220()()2xdubasbscuasudxau()2basxaue解:(1)作针对于时间变量的Laplace变换(2)、求像函数：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n30()11212[][][]basxabxasxaLuLeeLe(3)、求原像函数：由延迟定理：2()t(,)0tb