第5章场论和路论的关系

电磁场与电磁波第5章场论和路论的关系第5章场论和路论的关系安培(1775－1836)麦克斯韦(1831－1879)引言一、欧姆定律二、焦耳定律三、电阻的计算四、电容五、电感六、基尔霍夫定律和麦克斯韦方程电磁场与电磁波第5章场论和路论的关系电路理论基本物理量：电压电流电路参数：电阻电感电容UIRLC电磁场理论基本场量：电场强度电位移矢量磁感应强度磁场强度媒质参数：电导率磁导率介电常数DHEB场论和路论关系：统一、不可分割的。场论强调普遍性，在电路尺寸远小于工作波长时即准静态情况下，路论是可以由麦克斯韦方程组导出的近似理论。引言：电磁场与电磁波第5章场论和路论的关系一、欧姆定律lRSUIR★3.欧姆定律的微分形式JE1EJJ==dlUElddlllIlUJlISS由此可见，从场论出发，可以导出路论中的欧姆定律表达式。欧姆定律只是在线性、各向同性媒质的假设下才成立。对于均匀直导线的电阻它反映电阻两端电压和流经电阻的电流的关系，即1.概念2.条件4.两者之间的关系UIR电阻率UUIIlRJE+-S电磁场与电磁波第5章场论和路论的关系二、焦耳定律在一段含有电阻的电路中，计算损耗功率的关系式为：导电媒质中自由电子在电场力作用下运动，运动过程中电子和晶格点阵不断发生碰撞作用，电子的动能被转化为热能称为功率损耗。1.概念2.电阻功率损耗的含义PUI2PIR电磁场与电磁波第5章场论和路论的关系体积元中全部自由电子的损耗功率为:dV★3.焦耳定律的微分形式l电子电荷在电场力作用下移动距离,则电场力做功为：qWqEl相应的功率为：ddWpqEvt为电子漂移速度d()dPpENqvVdEJVddPEJVJE=2ddPEV电磁场与电磁波第5章场论和路论的关系在体积为V的一段导体中，总的损耗功率为：对于一段均匀直导体的情况，令dddVlS，dl和电流线一致，dS和电流线垂直，则：所得结果和路论中的焦耳定律式一致。这又一次反映了场论和路论的统一关系。4.关系dVPEJVdddVlSPEJVElJSUI电磁场与电磁波第5章场论和路论的关系三、电阻的计算★设和电流线垂直的两个端面为等位面，两端面之间的电压降为：根据定义可得到两端面间导电媒质的电阻R为：ddlSElURIES通过任意横截面S的电流为：cddSSIJSESdlUEll电磁场与电磁波第5章场论和路论的关系例1：有一扇形导体，电导率为，厚度为d，圆弧半径分别为1r和2r，两侧平面的夹角为，如图所示。求:(1)沿厚度方向的电阻；(2)两圆弧面间的电阻；(3)两侧平面间的电阻。扇形导体解(1)上、下扇面分别为等位面，其中电场为均匀场，设该电场为0E，上、下底面间的电压为：上、下面间的电流密度为：c0JE厚度方向的电阻为：22212()()UdRIrr于是总电流为：22021c()2ErrIJS0UEdABCDd1r2r电磁场与电磁波第5章场论和路论的关系cˆˆrrIIJaaSdr又因为：cJE所以其间电场为：ˆrIEadr两弧面之间的电压为：221121ddlnrrrrrIIUElrdrdr于是电阻为：211ln()rURIdr（2）两圆弧面为等位面，其中电场沿径向变化，设沿径向流过的电流为I，则其间任意弧面S上的电流密度为：ABCDd1r2r电磁场与电磁波第5章场论和路论的关系(3)两侧面分别为等位面，其中电场与r有关，与无关，设两侧面间电压为U，则：电流为:212c01dddlndrrUdUrIJSrzrr两侧平面间的电阻为：21()lnURIdrr电流密度为:cˆUJEar=0()d()UErrErr得电场：()UErrABCDd1r2r电磁场与电磁波第5章场论和路论的关系四、电容QC1.孤立导体的电容式中：为导体所带的电荷量，为导体的电位。Q2.双导体系统的电容QCUQU式中为带正电导体的电荷量，为两导体间的电压。dSQESdlUElddSlESCEl必须求出其间的电场。由上式可见：欲计算两导体间的电容，CE电磁场与电磁波第5章场论和路论的关系设两极板间电压为0d()d()lUElErrErrU则：()UErr21rrr例2：如图所示，电容器可以用圆柱坐标系表示，一极板位径向尺寸，内部填充介质的介电常数为求电容。xOzxOzh于平面，另一极板和面成角，电容器高为，，解忽略边缘效应，由边界条件判断，则极板间电场与有关，与无关，rˆ()EEraExyz1r2rhO电磁场与电磁波第5章场论和路论的关系SnnDE的极板处，根据电场边界条件：在021201dddlnhrSSrrUUhQSrzrrUr在极板上总电荷为：21lnrQhCUr所以电容为：电磁场与电磁波第5章场论和路论的关系例3：一无限长同轴电缆的内外半径分别为，其间填充介电常数为的介质，如图所示。求：同轴电缆单位长度的电容。ab和解：设内导体单位长度带电荷量为，在内、外导体之间取单位长度的闭合柱面，在该闭合面上应用高斯定律：Qab同轴电缆截面图dDSQ12π00dd2πErzErQˆ2πrQEarˆdln2πbraQbUEraa2πln()QCUba即：所以：内外导体间的电压为：同轴线单位长度电容为：电磁场与电磁波第5章场论和路论的关系如图1所示,若在一平行板电容器中置入一金属球，请问：平行板间的电容如何变化？1323121323CCCCCC式中、和称为导体系统的部分电容，其等效电路如图2所示。12C13C23C图1含金属球的平行板电容器图2三导体系统的等效电路多导体的电容，每个导体的电位不仅与导体本身电荷有关，同时还与其他导体上的电荷有关，对于三个导体以上的多导体系统用部分电容来描述。3.部分电容电磁场与电磁波第5章场论和路论的关系jULI包括自感L和互感M。五、电感在正弦交流电路中，若只含一个纯电感时，如图所示。电感上的电压和电流的关系为11122122jjUjLIMIUjMILI当电路包括两个以上电感线圈时，如图所示。电感上的电压和电流的关系为：1.概念:1I2I1V2V1L2LMIVL电磁场与电磁波第5章场论和路论的关系LI2.自感式中称为自感系数，简称为自感，它取决于线圈的几何形状和尺寸以及磁介质的磁导率。L（1）单匝线圈的自感IB假设线圈内外不存在铁磁性物质，则和之间存在线性关系，比值是一个常数IdSBS如图所示。电磁场与电磁波第5章场论和路论的关系磁通为dSBSddSlASAldlAlLIINNLIBA根据矢量磁位的定义若有N匝相同的线圈，则得磁链相应回路的电感：由斯托克斯定理，得到（2）多匝线圈的自感I电磁场与电磁波第5章场论和路论的关系内自感：导线内部的磁链与导线中电流的比值。外自感：导线外部环面内的磁链与导线中电流的比值。i0LLL式中为内自感，为外自感。iL0L（3）内自感和外自感单个载流回路的自感应为内自感和外自感之和，即iiLI00LI电磁场与电磁波第5章场论和路论的关系例4：一空气同轴线，内导体的半径为a，外导体的内半径为b，设外导体的壁厚很小，求同轴线单位长度的电感。dlHlI(0)ra(1)内导体的内自感如图所示，由安培环路定律得解：同轴线单位长度的电感可分为内导体中的内自感、内外导体之间的外自感和外导体中的内自感三部分。bar0i2ˆ2πIrBaad2πlHlHr2222ππIrIrIaa所以：电磁场与电磁波第5章场论和路论的关系22rIIa2ii2ddra在内导体内的总磁链为：300i40d2π8πaIIrra所以：内导体单位长度的内自感为0ii8πLI(H/m)dr1lar0ii2ddd2πIrBS=ra单位长度内导体截面的磁通量为只和半径为r的圆截面内的电流交链，与总电流相交链的磁链为：idII3200224()dd2π2πIrrIrrraaa电磁场与电磁波第5章场论和路论的关系（2）内外导体间的外自感00ˆ2IBar0000d()dln2π2πbSaIIbBSrra()arb同轴线单位长度的外自感为：000ln2πbLIa(H/m)内外导体之间单位长度上的磁通为：根据安培环路定律abdlHlIdr所以：电磁场与电磁波第5章场论和路论的关系(3)外导体中的内自感按题意，外导体的壁很薄，可以认为电流只在的壁面上流动，这样外导体中的内自感为零。rb30Li0iLLLL于是同轴线单位长度的总电感为利用能量关系也可方便地算出：此时，同轴线单位长度的总电感为:00i0ln8π2πbLLLa(H/m)4220i22222ln3[]2π()4()ccbcbLcbcb(H/m)若考虑外导体的壁厚，为外导体的外半径，需给出外导体的内自感。()brcciL电磁场与电磁波第5章场论和路论的关系解：该螺线管内部的磁感应强度可由安培环路定律求出。如图所示，构造一个长度为l的矩形围线，显然，螺线管外部没有磁场，则：例5：一非常长的非磁性圆柱的半径为a，每单位长度上紧密缠绕n匝线圈，形成空心电感器(螺线管)，若通过线圈的电流I是恒定的。求该电感器单位长度上的电感。220ππBanIa220π(H/m)nLnaI0BlnlI0ˆzBnIa可见，半径为a的圆柱体内的磁通量为：所以，该电感器单位长度的电感为：电磁场与电磁波第5章场论和路论的关系例6：无限长双导线单位长度上的电感。导线半径为。adIIx0B01ˆ2yIBax02ˆ2()yIBadx1012120ˆ()d()dddaySaBBSBBxza单位长度上的外自感：000lndaLIa双导线单位长度上的电感：i02LLL00ln4ππdaaz012BBB解：已知单位长度的内自感为：0i8πL外自感：电磁场与电磁波第5章场论和路论的关系思考：一无限长导线平行于无限大导磁面，导线半径为a，求：单位长度上的电感。IdId单位长度上的电感：i0LLL电磁场与电磁波第5章场论和路论的关系3.互感21211MI不难证明，线圈回路间的互感是互易的，即1221MM2211dSBS式中：同理，线圈对线圈的磁场互感为2C1C12122MI线圈对线圈的磁场产生的互感为2C1C221211NMI112122NMI如果两个载流回路分别由匝线圈组成，则互感变为12NN、121C2C1I2IR1dl2dl21电磁场与电磁波第5章场论和路论的关系例7：如图所示，求无限长直导线和直角三角形导线回路间的互感。011ˆ2IBar2201211ˆdd2πSSIBSaSrˆddSzra()tanzdbr012101tan()d2πtan[()ln(1)]2πdbdIdbrrrIbdbbrd021tan[()ln(1)]2πbMdbbdddbdrr1I解：根据互感定义21211MI2211dSBS得：电磁场与电磁波第5章场论和路论的关系思考：如图所示，求两对无限长双导线单位长度上的的互感。1I1I2I2I1I电磁场与电磁波第5章场论和路论的关系六、基尔霍夫定律和麦克斯韦方程的统一1.基尔霍夫电流定律任一瞬时任一节点的电流的代数和恒为零。10NjjI