8.2__消元――二元一次方程组的解法[2].ppt

8.2.2消元——解二元一次方程组（加减消元法）主要步骤：基本思路:4、写解3、求解2、代入把变形后的方程代入到另一个方程中，消去一个元分别求出两个未知数的值写出方程组的解1、变形用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数,写成y=ax+b或x=ay+b消元:二元1、解二元一次方程组的基本思路是什么？2、用代入法解方程的步骤是什么？一元复习：解法一：设胜x场，负y场，则有x+y=10①2x+y=16②篮球联赛中，每场都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部的10场比赛中得到16分，那么这个队胜负应该分别是多少？新课导入x+y=102x+y=16这两个方程中未知数y的系数相同,①②②-①可消去未知数y得把x=6代入①,得y=4.①-②也能消去未知数y,求得x吗?像这样,通过对方程组中的两个方程进行加或减的运算就可以消去一个未知数,得到一个一元一次方程,这种方法叫做加减消元法,简称加减法.x=6（②-①等式性质）联系上面的方法,想一想应怎样解方程组4x+10y=3.615x-10y=8①②解:①+②,得19x=11.6x=5895二元一次方程组4x+10y=3.615x-10y=8一元一次方程19x=11.6x=5895y=-995把x=5895代入①,得y=-995∴这个方程组的解为x=5895y=-995①+②同减异加归纳:我们发现,如果二元一次方程组的两个方程中某个未知数的系数相同或互为相反数,就可以直接用加减法显得非常简便.例1.用加减法解下列方程组:(1)4x+y=24x-3y=-6①②解:(1)①-②,得4y=8y=2把y=2代入方程①,得x=03x+7y=27①4x-7y=－13②(2)解：①+②，得7x=14把x=2代入①，得3×2+7y=27y=3所以原方程组的解是x=2y=3所以原方程组的解是x=0y=2(1)①×2-②,得4x=5x=1.25把x=1.25代入②,得y=-2.3753x+2y=-12x+4y=-7(1)所以,原方程组的解为x=1.25y=-2.375①②例2:(3)7x+3y=362x+9y=51系数的绝对值成倍数关系：归纳：当两个方程中某个未知数的系数成倍数关系时,我们也可以用加减法,只不过在加或减之前,可先将一个方程变形成与另一个方程中相同未知数的系数相同,这样就可以达到消元的目的.①②看一看下面这个例子,我们又该如何解决呢?3x+4y=165x-6y=33能用加减法做吗?怎么做呢?试试看!解：①×3，得：9x+12y=48③②×2，得：10x-12y=66④③十④，得：19x=11x=6把x=6代入①得3x6+4y=16y=-1/2所以原方程组的解为x=6y=-1/2例3:例4:用加减法解方程组4x＋5y=23①5x－2y=4②解：①×2，得8x＋10y=46③②×5，得25x－10y=20④③＋④，得33x=66x=2把x=2代入②，得5×2－2y=4，y=3所以这个方程组的解是x=2y=3153242yxyx（1）(2)加减法归纳：用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等，且不成整数倍的二元一次方程组时，把一个（或两个）方程的两边乘以适当的数，使两个方程中某一未知数的系数绝对值相等，从而化为第一类型方程组求解．解：原方程组变形为①－②，得：2y=2y=1把y=1代入①，得x=2例5用加减法解方程组2（2x+1）=15－5y3（y+1）=14-4x4x+5y=13①4x+3y=11②x=2y=1所以原方程组的解是解：由①×6，得3x+2y=9③由②×15，得5x-3y=15④例6用加减法解方程组②①1532321yxyx③④组成一个新的方程组：3x+2y=9③5x-3y=15④③×3，得9x＋6y=27⑤④×2，得10x－6y=30⑥⑤＋⑥，得19x=57x=3把x=3代入③，得3×3＋2y=9y=0所以原方程组的解是x=3y=0对于较复杂的二元一次方程组，应先化简(去分母,去括号,合并同类项等)，通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再作加减消元的考虑。复杂方程先化简基本思路:主要步骤：加减消元:二元一元加减消元法解方程组基本思路是什么？主要步骤有哪些？处理系数同一个未知数的系数变成相同或相反的数代入求值2写解写出方程组的解加/减求值1解方程组：127xy27x解：原方程组可化为：2x+3y=4③2x-y=8④由③-④得:y=-1所以原方程组的解是把y=-1代入②，解得:②①24121231yxyx方法1：由④得:y=2x-8⑤把⑤代入③，得:2x+3(2x-8)=4x=7/2把x=7/2代入⑤得y=-1方法2：主要步骤：基本思路：写解求解加减二元变一元加减消元：消去一个元求出两个未知数的值写出方程组的解加减消元法解方程组基本思路和主要步骤：变形同一个未知数的系数相同或互为相反数每个二元一次方程组均可采用代入法和加减法求解，但在解题中要根据方程组的特点灵活选用最恰当的方法，使计算过程更简便。当化简后的方程组存在一个方程的某个未知数系数的绝对值是1或有一个方程的常数项是0时，用代入法；当两个方程中某个未知数的绝对值相等或整数倍时，用加减法。例7：2台大收割机和5台小收割机工作2小时收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机工作5小时收割小麦8公顷，1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦多少公顷？解：设1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦x公顷和y公顷8)23(56.3)52(2yxyx化简，得：810156.3104yxyx①②②－①，得：11x=4.4，解得x=0.4把x=0.4代入①中，得：y=0.2所以原方程组的解是2.04.0yx答：1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦0.4公顷和0.2公顷。例8：两个完全相同的纸杯中盛有相同重量的水，现将第一个纸杯中的若干重量的水倒入第二个纸杯中，称得第一个纸杯重50克，第二个纸杯重90克（纸杯本身的重量忽略不计），问原来纸杯中各盛有多少克水？从第一个纸杯中倒了多少克水到第二个纸杯中？解：设原来纸杯中盛有x克水，从第一个纸杯中倒入第二个纸杯中的水为y克，根据题意，得x－y=50①x＋y=90②①＋②得：（x－y）＋（x＋y）＝50＋90，则有2x＝50＋90所以x=70或者：②－①得：（x+y）－（x－y）＝90－50，则有2y＝40所以y=20x－y=50①x＋y=90②上述方程的另一种解法是：例9已知方程组与方程组的解相同，求a，b的值．ax-by=4ax+by=24x+3y=114x-5y=3解方程组得解：4x+3y=114x-5y=3把x=2，y=1代入得，ax-by=4ax+by=2x=2y=12a－b=42a＋b=2解得a=1.5b=－1例10解关于x，y的方程组4x+3ky+1=0①6y-4x=1②解：①+②得（3k+6）y=0即（2+k）y=0（1）当k≠－2时，y=0（2）当k=-2时，则k+2=0，（2+k）y=0恒成立原方程组有无数组解．把y=0代入②，得-4x=114xy=014x例11已知4|5x＋3y－23|＋5（x＋4y－8）2=0，求x－y的值．解：由题知，5x+3y-23=0①x+4y－8=0②解这个方程组，得x=4y=1所以x－y=4－1=3例12已知4x3a+b－3+3y2a-b=2，是关于x、y的二元一次方程，试求a、b的值．解：根据题意：得3a+b－3=12a-b=1解，得a=1b=1解：由已知得3x-2y-8z=0①2x+y-10z=0②例13已知：3x-2y-8z=0，2x+y-10z=0，且x，y，z均不为零，求的值．2222x+3y-4zxy+xz+yz解得x=4zy=2z把x=4z，y=2z代入所求代数式，解得2222x+3y-4zxy+xz+yz2072222222222224z+3(2z)-4z=(4z)(2z)+(4z)z+(2z)z32z+12z-4z=8z+4z+2z40z=14z（）例13当x=2与x=－3时，代数式2x2+ax－b的值都是9，求a，b的值．解：把x=2，x=－3代入2x2+ax-b，得8＋2a－b=918－3a－b=9即2a－b=13a＋b=9解，得a=2b=3例14a为何值时，方程组的解互为相反数，并求它的值．2x-7y=9a3x+4y=a-6解：若方程组的解互为相反数，则有y=-x，将y=-x代入原方程组，得2x+7x=9a3x-4x=a-6解，得x=3a=3当a=3时，原方程组中的解互为相反数，即x=3y=-3例15m，n为何值时，5x4m-ny3m+2n与3x5y6m是同类项．解：根据同类项的定义，有4m-n=53m+2n=6m解，得m=2n=31．代入消元法解二元一次方程组对于用代入法解未知数系数的绝对值不是1的二元一次方程组，解题时应选择未知数的系数绝对值比较小的一个方程进行变形，这样运算简便．课堂小结用加减法解二元一次方程组的思想：“二元”消元转化为“一元”．条件：某一未知数系数绝对值相等．2．用加减消元法解二元一次方程组2．若（x-2y－3）2+（2x－y-3）2=0，则x、y的值是x=___，y=______．1－11．二元一次方程组的解是________．4x-y=55x+2y=10x=0y=－53．已知│x＋y－5│＋（2x－3y＋10）2=0，则x=____，y=____．14随堂练习4．己知：，则方程组的解是___________．21a-2+(b-2)=02ax-by=2x+y=5x=2，y=35．已知（3m+2n-16）2与|3m-n-1|互为相反数，则m+2n=_______．126．若方程（a2-9）x2+（2-4a）x+（a+4）y+3a－5=0是二元一次方程，则a的值为＿＿．±37．已知5a3xb2x-y和-9a8-yb7是同类项，则2xy=____．－6238．若方程组与方程组同解，则m=______，n=______．x+y=32x-y=-1mx-ny=-4nx+my=79．下列方程组中，x=_____，y=______．3x-y2x+y+54x+5y-1==2354210．已知方程组，且x+y=2，则m2-2m+5的值是____．3x+y=m+14x-3y=2m-511．当m≠＿＿时，方程组有一组解．4x-3y=21x+my=283-412．已知方程组，且y=3x，则m=___．4x-y-5m=05x-y-10=0113．己知，则的值是______．4x-3y+2z=0x+4y-9z=02222222x+7y+20zx+5y+4z214．己知，则的值是_______．xyz==345x+y+z2x215.如果二元一次方程组ax-by=1,3ax+2by=23的解是x=5y=4.求a-b的值.1、若方程组的解满足2x-5y=-1，则m为多少？2、若(3x+2y-5)2+|5x+3y-8|=0求x2+y-1的值。x+y=8mx-y=2m