高考数学冲刺专题复习之——导数(学生版)

高考数学（文）冲刺专题复习之——导数一、知识点梳理（一）变化率与导数、导数的运算1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为fx2－fx1x2－x1.若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx.2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率0000()()ylimlimxxfxxfxxx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作0()fx或0xxy，即00000()()y()limlimxxfxxfxfxxx.(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数0()fx的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处切线的斜率．相应地，切线方程为000()()yfxfxxx（）．3．函数f(x)的导函数称函数0()()()limxfxxfxfxx为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.4．基本初等函数的导数公式若f(x)＝c，则f′(x)＝0；若f(x)＝xα(α∈R)，则f′(x)＝αxα－1；若f(x)＝sinx，则f′(x)＝cosx；若f(x)＝cosx，则f′(x)＝－sinx；若f(x)＝ax(a0，且a≠1)，则f′(x)＝axln_a；若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex；若f(x)＝logax(a0，且a≠1)，则f′(x)＝1xlna；若f(x)＝lnx，则f′(x)＝1x.5．导数四则运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)．6．复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.（二）导数的应用——研究函数的单调性1．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线l的斜率，切线l的方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．导数的物理意义若物体位移随时间变化的关系为s＝f(t)，则f′(t0)是物体运动在t＝t0时刻的瞬时速度．3．函数的单调性（1）在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递增；f′(x)≤0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递减．注意：（1）0)(xf与)(xf为增函数的关系。0)(xf能推出)(xf为增函数，但反之不一定。如函数3)(xxf在),(上单调递增，但0)(xf，∴0)(xf是)(xf为增函数的充分不必要条件。（2）0)(xf时，0)(xf与)(xf为增函数的关系。若将0)(xf的根作为分界点，因为规定0)(xf，即抠去了分界点，此时)(xf为增函数，就一定有0)(xf。所以，当0)(xf时，0)(xf是)(xf为增函数的充分必要条件。（3）0)(xf与)(xf为增函数的关系。)(xf为增函数，一定可以推出0)(xf，但反之不一定，因为0)(xf，即为0)(xf或0)(xf。当函数在某个区间内恒有0)(xf，则)(xf为常数，函数不具有单调性。∴0)(xf是)(xf为增函数的必要不充分条件。（2）用导数求函数单调区间的三个步骤：①确定函数的定义域；②求函数()fx的导数()fx；③令()0fx解不等式，得x的范围，再与定义域求交集，就是递增区间.令()0fx解不等式，得x的范围，再与定义域求交集，就是递减区间.（三）导数的应用——求函数的极值和最值1．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法：一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤：①先确定函数定义域，再求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．注意：f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值。但是，当x=x0时，函数有极值f/(x0)＝0判断极值，还需结合函数的单调性说明。2．函数的最值：(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（三）导数的应用——证明不等式1、函数类不等式证明：函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式()()fxgx（()()fxgx）的问题转化为证明()()0fxgx（()()0fxgx），进而构造辅助函数()()()hxfxgx，然后利用导数证明函数()hx的单调性或证明函数()hx的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。2常数类不等式证明：常数类不等式证明的通法可概括为：证明常数类不等式的问题等价转化为证明不等式()()fafb的问题，在根据,ab的不等式关系和函数()fx的单调性证明不等式。3、不等式恒成立问题：不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为mf(x)(或mf(x))恒成立，于是m大于f(x)的最大值（或m小于f(x)的最小值），从而把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题．因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法．二、考点及题型考点1利用导数研究函数的图像1、如果函数()yfx的图象如右图，那么导函数'()yfx的图象可能是（）xyoxyooyxABCD（函数图像）训练设函数()yfx在定义域内可导，()yfx的图象如图1所示，则导函数()yfx可能为（）2、()fx是)(xf的导函数，()fx的图象如右图所示，则)(xf的图象只可能是（）xyoxyoxyO图1xyOAxyOBxyOCyODx训练设)(xf是函数)(xf的导函数，)(xfy的图象如图所示，则)(xfy的图象最有可能的是(）3、以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是（）A．①、②B．①、③C．③、④D．①、④训练（浙江卷）设()fx是函数()fx的导函数，将()yfx和()yfx的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）4、（重庆文）设函数在上可导,其导函数,且函数在处取得极小值,则函数的图象可能是（）()fxR()fx()fx2x()yxfxyxOyxOyxOyxOA．B．C．D．考点2导数几何意义的应用——切线问题1.（2015安徽文）函数32fxaxbxcxd的图像如图所示，则下列结论成立的是（）.A．0,0,0,0abcdB．0,0,0,0abcdC．0,0,0,0abcdD．0,0,0,0abcd2、（2015新课标2卷文）已知曲线lnyxx在点11，处的切线与曲线221yaxax相切，则a.3、（2015陕西文）函数exyx在其极值点处的切线方程为____________.4、（2015山东文）设函数()()lnfxxax，2()exxgx.已知曲线()yfx在点(1(1))f，处的切线与直线20xy平行.求a的值；5、已知函数32()22fxxbxcx的图象在与x轴交点处的切线方程是510yx，求函数()fx的解析式；6、已知定义在正实数集上的函数，其中。设两曲线有公共点，且在公共点处的切线相同。（1）若，求的值；（2）用表示，并求的最大值。考点3利用导数研究函数的单调性——已知单调性求参数的值和范围（分离参数、构造函数法）1、【2014全国2文】若函数fxkxInx在区间1,单调递增，则k的取值范围是（）（A）,2（B）,1（C）2,（D）1,2、函数21ln(2)2yxbx在(1,)上是减函数，则b的取值范围是（C）A、[1,)B、(1,)C、(,1]D、(,1)3、已知函数上是增函数，求实数a的取值范围；训练已知函数,，其中R．（Ⅰ）当1a时判断的单调性；（Ⅱ）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；221()2,()3ln2fxxaxgxaxb0a(),()yfxygx1ababb),1()4(ln21)(2在xaxxxfxaxxfln)(xaxxfxgln6)()(a)(xf)(xga4、设()1xefxax，其中a为正实数，若()fx为R上的单调函数，求a的取值范围。5、（江西文）已知函数在上单调递减且满足.(1)求的取值范围;(2)设,求在上的最大值和最小值.6、已知函数xxbaxxfln2)(．若(1)2f，函数)(xf在),0(上是单调函数，求a的取值范围．训练已知函数．（Ⅰ）若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；2()()xfxaxbxce0,1(0)1,(0)0ffa()()()gxfxfx()gx0,10)1(,ln2)(fxxbaxxf考点4利用导数研究函数的单调性——求函数的单调区间类型1、直接法——因式分解1、（2013四川文21）已知函数220()ln0xxaxfxxx，，，其中a是实数.设11(())Axfx，，22(())Bxfx，为该函数图象上的两点，且12xx.（1）指出函数()fx的单调区间；2、（2015四川文）已知函数222ln2fxxxxaxa，其中0a.设gx为fx的导函数，讨论gx的单调性；3、已知函数，（1）求函数的最小值；4、设函数2()ln(1)fxxbx,其中0b.（1）当12b时,判断函数()fx在定义域上的单调性;类型2、导数中含一次式时参数的讨论——一次项系数的讨论1、已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；)0(1)1ln()(xxexfx)(xf.1ln)(kxxxf)(xf)(xf训练（2015新课标2卷文21(1)）已知函数=ln+1fxxax.讨论fx的单调性.类型3、导函数中含二次式的参数讨论——因式分解后，比较两根的大小1、（陕西卷文）已知函数求的单调区间；若在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。2、（2016四川文）设函数2lnfxaxax，1eexgxx，其中aR，e2.718为自然对数的底数.（1）讨论fx的单调性；（2）求证：当1x时，()0gx；3、（辽宁）已知函数，（I）讨论函数的单调性；3()31,0fxxaxa()fx()fx1x()yfx1ln)1()(2axxaxf)(xf4、已知函数21()(1)ln2fxxaxax，1a。讨论函数()fx的单调性；5、