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整理:英德市一中陈健伟2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学I卷逐题解析第1页共13页2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(I卷)本试题卷共5页,24题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。(1)设集合}034{2xxxA,}032{xxB,则ABI(A))23,3((B))23,3((C))23,1((D))3,23(【解析】:243013Axxxxx,32302Bxxxx.故332ABxxI.故选D.(2)设yixi1)1(,其中yx,是实数,则yix(A)1(B)2(C)3(D)2【解析】:由11ixyi可知:1xxiyi,故1xxy,解得:11xy.所以,222xyixy.故选B.(3)已知等差数列}{na前9项的和为27,810a,则100a(A)100(B)99(C)98(D)97【解析】:由等差数列性质可知:1959599292722aaaSa,故53a,而108a,因此公差1051105aad∴100109098aad.故选C.(4)某公司的班车在30:7,00:8,30:8发车,小明在50:7至30:8之间到达发车站乘坐班车,且到达发车丫的时候是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是(A)31(B)21(C)32(D)43【解析】:如图所示,画出时间轴:8:208:107:507:408:308:007:30BACD小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中,而当他的到达时间落在线段AC或DB时,才能保证他等车的时间不超过10分钟,根据几何概型,所求概率10101402P.故选B.(5)已知方程132222nmynmx表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是(A))3,1((B))3,1((C))3,0((D))3,0(整理:英德市一中陈健伟2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学I卷逐题解析第2页共13页【解析】:222213xymnmn表示双曲线,则2230mnmn,∴223mnm由双曲线性质知:222234cmnmnm,其中c是半焦距,∴焦距2224cm,解得1m∴13n,故选A.(6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是328,则它的表面积是(A)17(B)18(C)20(D)28【解析】:原立体图如图所示:是一个球被切掉左上角的18后的三视图表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S,故选A.(7)函数xexy22在]2,2[的图像大致为(A)(B)(C)(D)【解析】:222882.80fe,排除A;222882.71fe,排除B;0x时,22xfxxe,4xfxxe,当10,4x时,01404fxe因此fx在10,4单调递减,排除C;故选D.(8)若1ba,10c,则(A)ccba(B)ccbaab(C)cbcaabloglog(D)ccbaloglog【解析】:由于01c,∴函数cyx在R上单调递增,因此1ccabab,A错误;由于110c,∴函数1cyx在1,上单调递减,∴111ccccababbaab,B错误;1yx22O1yx22O1yx22O1yx22O整理:英德市一中陈健伟2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学I卷逐题解析第3页共13页要比较logbac和logabc,只需比较lnlnacb和lnlnbca,只需比较lnlncbb和lnlncaa,只需lnbb和lnaa,构造函数ln1fxxxx,则'ln110fxx,fx在1,上单调递增,因此110lnln0lnlnfafbaabbaabb,又由01c得ln0c,∴lnlnlogloglnlnabccbcacaabb,C正确;要比较logac和logbc,只需比较lnlnca和lnlncb,而函数lnyx在1,上单调递增,故111lnln0lnlnababab,又由01c得ln0c,∴lnlnlogloglnlnabccccab,D错误;故选C.(9)执行右面的程序框图,如果输入的0x,1y,1n,则输出yx,的值满足(A)xy2(B)xy3(C)xy4(D)xy5【解析】:第一次循环:220,1,136xyxy;第二次循环:22117,2,3624xyxy;第三次循环:223,6,362xyxy;输出32x,6y,满足4yx;故选C.(10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于BA,两点,交C的准线于ED,两点,已知24AB,52DE,则C的焦点到准线的距离为(A)2(B)4(C)6(D)8【解析】:以开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理设抛物线为22ypx0p,设圆的方程为222xyr,如图:设0,22Ax,,52pD,点0,22Ax在抛物线22ypx上,∴082px……①;点,52pD在圆222xyr上,∴2252pr……②;点0,22Ax在圆222xyr上,∴2208xr……③;联立①②③解得:4p,焦点到准线的距离为4p.故选B.(11)平面过正方体1111DCBAABCD的顶点A,//平面11DCB,Fnyynxx,21nyx,,输入开始结束yx,输出1nn?3622yx是否整理:英德市一中陈健伟2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学I卷逐题解析第4页共13页I平面ABCDm,平面nAABB11,则nm,所成角的正弦值为(A)23(B)22(C)33(D)31【解析】:如图所示:αAA1BB1DCC1D1∵11CBD∥平面,∴若设平面11CBD平面1ABCDm,则1mm∥又∵平面ABCD∥平面1111ABCD,结合平面11BDC平面111111ABCDBD∴111BDm∥,故11BDm∥,同理可得:1CDn∥故m、n的所成角的大小与11BD、1CD所成角的大小相等,即11CDB的大小.而1111BCBDCD(均为面对交线),因此113CDB,即113sin2CDB.故选A.(12)已知函数)2,0)(sin()(xxf,4x为)(xf的零点,4x为)(xfy图像的对称轴,且)(xf在)365,18(单调,则的最大值为(A)11(B)9(C)7(D)5【解析】:由题意知:12π+π4ππ+π+42kk则21k,其中kZ,()fx在π5π,1836单调,5π,123618122T接下来用排除法:若π11,4,此时π()sin114fxx,()fx在π3π,1844递增,在3π5π,4436递减,不满足()fx在π5π,1836单调;若π9,4,此时π()sin94fxx,满足()fx在π5π,1836单调递减。故选B.二、填空题:本大题共3小题,每小题5分。(13)设向量a)1,(m,b)2,1(,且|ab||2a||2b2|,则m.【解析】:由已知得:1,3abmrr,∴22222222213112ababmmrrrr,解得2m.(14)5)2(xx的展开式中,3x的系数是.(用数字填写答案)整理:英德市一中陈健伟2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学I卷逐题解析第5页共13页【解析】:设展开式的第1k项为1kT,0,1,2,3,4,5k,∴5552155C2C2kkkkkkkTxxx.当532k时,4k,即454543255C210Txx,故答案为10.(15)设等比数列}{na满足1031aa,542aa,则12naaaL的最大值为.【解析】:由于na是等比数列,设11nnaaq,其中1a是首项,q是公比.∴2131132411101055aaaaqaaaqaq,解得:1812aq.故412nna,∴32...4121...2nnaaa211749722241122nnn,当3n或4时,21749224n取到最小值6,此时2174922412n取到最大值62.所以12...naaa的最大值为64.(16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.【解析】:设生产A产品x件,B产品y件,根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件,构造线性规则约束为**1.50.51500.3905360000xyxyxyxyxNyN≤≤≤≥≥目标函数2100900zxy;作出可行域为图中的四边形,包括边界,顶点为(60,100)(0,200)(0,0)(90,0),在(60,100)处取得最大值,210060900100216000z三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)ABC的内角CBA,,的对边分别为cba,,,已知cAbBaC)coscos(cos2.(Ⅰ)求C;(Ⅱ)若7c,ABC的面积为233,求ABC的周长.【解析】:⑴2coscoscosCaBbAc,由正弦定理得:2cossincossincossinCABBAC2cossinsinCABC,∵πABC,0πABC、、,,∴sinsin0ABC整理:英德市一中陈健伟2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学I卷逐题解析第6页共13页∴2cos1C,1cos2C,∵0πC,,∴π3C⑵由余弦定理得:2222coscababC,221722abab,237abab1333sin242SabCab,∴6ab,∴2187ab,5ab∴ABC△周长为57abc(18)(本小题满分12分)如图,在以FEDCBA,,,,,为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,90,2AFDFDAF,且二面角EAFD与二面角FBEC都是60.(Ⅰ)证明:平面ABEF平面EFDC;(Ⅱ)求二面角ABCE的余弦值.【解析】:⑴∵ABEF为正方形,∴AFEF,∵90AFD,∴AFDF,∵=DFEFF∴AF面EFDC,AF面ABEF,∴平面ABEF平面EFDC
本文标题:2016年高考全国I卷理科数学试题逐题解析
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