第3章微分中值定理与导数的应用

第三章中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式推广微分中值定理与导数的应用一、罗尔(Rolle)定理第一节机动目录上页下页返回结束二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理第三章一、罗尔（Rolle）定理满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)使.0)(fxyoab)(xfy在(a,b)内至少存在一点机动目录上页下页返回结束1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.例如,x1yox1yo1x1yo机动目录上页下页返回结束注意:使2)定理条件只是充分的.本定理可推广为在(a,b)内可导,且)(limxfax)(limxfbx在(a,b)内至少存在一点证明提示:设证F(x)在[a,b]上满足罗尔定理.机动目录上页下页返回结束例1.证明方程,15)(5xxxf,0)(0xf有且仅有一个小于1的正实根.证:1)存在性.则)(xf在[0,1]连续,且由介值定理知存在,)1,0(0x使即方程有小于1的正根2)唯一性.假设另有在以)(xf10,xx为端点的区间满足罗尔定理条件,之间在10,xx至少存在一点但矛盾,故假设不真!设机动目录上页下页返回结束二、拉格朗日中值定理)((1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使.)()()(abafbffxyoab)(xfy思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证:问题转化为证)(x)(xfxabafbf)()()(a由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.,)(babbfaafb)()(拉氏目录上页下页返回结束0)()()(abafbff证毕拉格朗日中值定理的有限增量形式:推论:若函数在区间I上满足则在I上必为常数.证:在I上任取两点日中值公式,得0由的任意性知,在I上为常数.)10()(0xxxfy令则机动目录上页下页返回结束例2.证明等式证:设由推论可知(常数)令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.自证:),(x,2cotarcarctanxx经验:欲证Ix时,)(0Cxf只需证在I上,0)(xf,0Ix且.)(00Cxf使机动目录上页下页返回结束例3.证明不等式证:设,)1ln()(ttf中值定理条件,即因为故.)0()1ln(1xxxxx因此应有机动目录上页下页返回结束三、柯西(Cauchy)中值定理0)()()()()()(fFaFbFafbf)(分析:及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使.)()()()()()(FfaFbFafbf满足:)()(aFbF))((abFba0要证)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx柯西目录上页下页返回结束证:作辅助函数)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx)()()()()()()()(baFbFbFafaFbfa,),(,],[)(内可导在上连续在则babax且使即由罗尔定理知,至少存在一点.)()()()()()(FfaFbFafbf思考:柯西定理的下述证法对吗?),(,))(()()(baabfafbf),(,))(()()(baabFaFbF两个不一定相同错!机动目录上页下页返回结束上面两式相比即得结论.柯西定理的几何意义:)(F)(aF)()(tfytFx)(af)(bF)(bf)()(ddtFtfxy注意:xyo弦的斜率切线斜率机动目录上页下页返回结束)0()1(FF例4.设,)(2xxF至少存在一点使证:结论可变形为设则)(,)(xFxf在[0,1]上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点,使)(F01即证明机动目录上页下页返回结束),1(,)()()1()()1()(eFfFeFfef例5.试证至少存在一点使证:法1用柯西中值定理.xxFxxfln)(,lnsin)(则f(x),F(x)在[1,e]上满足柯西中值定理条件,令因此11lncos即分析:机动目录上页下页返回结束例5.试证至少存在一点使法2令xxflnsin)(则f(x)在[1,e]上满足罗尔中值定理条件,使xlncos)(xf1sinx1因此存在x1xln1sin机动目录上页下页返回结束公式①称为的n阶泰勒公式.公式②称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项.四、泰勒中值定理:阶的导数,时,有)(0xf))((00xxxf200)(!2)(xxxfnnxxnxf)(!)(00)()(xRn①其中10)1()(!)1()()(nnnxxnfxR②则当)0(之间与在xx泰勒目录上页下页返回结束公式③称为n阶泰勒公式的皮亚诺(Peano)余项.在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为)(0xf))((00xxxf200)(!2)(xxxfnnxxnxf)(!)(00)(])[(0nxxo])[()(0nnxxoxR注意到③④*可以证明:④式成立机动目录上页下页返回结束特例:(1)当n=0时,泰勒公式变为)(xf)(0xf))((0xxf(2)当n=1时,泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理)(xf)(0xf))((00xxxf20)(!2)(xxf可见误差)(xf)(0xf))((00xxxf10)1()(!)1()(nnxxnf200)(!2)(xxxfnnxxnxf)(!)(00)(fd)0(之间与在xx)0(之间与在xx)0(之间与在xx)0(之间与在xx机动目录上页下页返回结束称为麦克劳林（Maclaurin）公式.,)10(,00xx则有)0(fxf)0(2!2)0(xfnnxnf!)0()(在泰勒公式中若取)(xf)(0xf))((00xxxf10)1()(!)1()(nnxxnf200)(!2)(xxxfnnxxnxf)(!)(00)()0(之间与在xx)(xf)0(fxf)0(,)()1(Mxfn则有误差估计式1!)1()(nnxnMxR2!2)0(xfnnxnf!)0()(若在公式成立的区间上麦克劳林目录上页下页返回结束由此得近似公式几个初等函数的麦克劳林公式,)()(xkexf),2,1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xRn!22x其中机动目录上页下页返回结束)sin(x)()(xfkxsinx!33x!55x!)12(12mxm)(2xRm其中)(2xRm)sin(212mx2k2sin)0()(kfkmk2,012mk,)1(1m),2,1(m1)1(m)10(12mx!)12(m)cos()1(xm机动目录上页下页返回结束!)2(2mxm类似可得xcos1!22x!44x)(12xRm其中)(12xRm!)22(m)cos()1(1xm)10(m)1(22mx机动目录上页下页返回结束)()(xfk)1(x1x2xnx)(xRn其中)(xRn11)1(!)1()()1(nnxxnn)10(kxk)1)(1()1()1()1()0()(kfk),2,1(k!2)1(!n)1()1(n机动目录上页下页返回结束2.利用泰勒公式求极限例3.求解:由于x431243x2)(14321x!21)1(2121243)(x)(2xo用洛必塔法则不方便!2x用泰勒公式将分子展到项,11)1(!)1()()1(nnxxnn)10(机动目录上页下页返回结束x34220limxx原式)(2216921xox329x43)(2216941xox2x43)(2216941xox思考与练习计算)(!2114422xoxxex)(!4!21cos542xoxxx)()!412!21(3cos2442xoxxex127)(lim4441270xxoxx解:原式第四节目录上页下页返回结束11)1(!)1()()1(nnxxnn)10(3.利用泰勒公式证明不等式例4.证明证:21)1(1xx21x2)121(21!21x325)1)(221)(121(21!31xx)10(3225)1(161821xxxx)0(82112xxxx机动目录上页下页返回结束拉格朗日中值定理)()(bfaf一、微分中值定理及其应用(内容小结)1.微分中值定理及其相互关系罗尔定理0)(fxyoab)(xfy)()()()()()(FfaFbFafbfabafbff)()()()()()(bfafxxF10)1(!)1(1))((nnnxxf柯西中值定理xxF)(xyoab)(xfy泰勒中值定理))(()()(000xxxfxfxfnnnxxxf))((00)(!10n机动目录上页下页返回结束2.微分中值定理的主要应用(1)研究函数或导数的性态(2)证明恒等式或不等式(3)证明有关中值问题的结论机动目录上页下页返回结束3.有关中值问题的解题方法利用逆向思维,设辅助函数.一般解题方法:(1)证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及到含中值的两个不同函数,(3)若结论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数.多用罗尔定理,可考虑用柯西中值定理.必须多次应用中值定理.(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,(5)若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理.机动目录上页下页返回结束内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理)()(afbfxxF)()()(afbfxxF)(2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键:利用逆向思维设辅助函数机动目录上页下页返回结束思考与练习1.填空题1)函数在区间[1,2]上满足拉格朗日定理条件,则中值._____2)设有个根,它们分别在区间34153)4,3(,)2,1(,)3,2(机动目录上页下页返回结束上.方程2.设],,0[)(Cxf且在),0(内可导,证明至少存在一点,),0(使.cot)()(ff提示:由结论可知,只需证即0sin)(xxxf验证)(xF在],0[上满足罗尔定理条件.设xxfxFsin)()(机动目录上页下页返回结束3.若)(xf可导,试证在其两个零点间一定有)()(xfxf的零点.提示:设,,0)()(2121xxxfxf欲证:,),(21xx使0)()(ff只要证0)()(ffee亦即0])([xxxfe作辅助函数,)()(xfexFx验证)(xF在],[21xx上满足罗尔定理条件.机动目录上页下页返回结