2012年高三数学一轮复习资料第十二章-随机变量及其分布第4讲：正态分布

-1-第4讲：正态分布★知识梳理★1.正态总体的概率密度函数：,,21)(222)(Rxexfx式中,是参数，分别表示___________与___________；当0时得到标准正态分布密度函数：221,,26xfxex.答案:总体的平均数（期望值）;标准差2.正态曲线的性质：①______________________;②______________________;③______________________;④______________________;答案:①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，关于直线x＝对称；③曲线在x＝处达到峰值21；④曲线与x轴之间的面积为1；3.,是参数,是参数的意义:①______________________;②______________________’答案:①当一定时，曲线随质的变化沿x轴平移；②当一定时，曲线形状由确定：越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越集中；越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散。特别提醒：(1)P)(x=0.6826；(2)P)22(x=0.9544(3)P)33(x=0.99744．对于2(,)N，取值小于x的概率xFx.12201xxPxxPxxxP21FxFx21xx.★重难点突破★-2-1.重点：利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义2.难点：利用正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义解决简单问题.3.重难点：.(1)正态分布与正态曲线问题1:若总体密度曲线就是或近似地是函数R,21)(222)(xexfx的图象，则其分布叫正态分布，常记作),(2N．)(xf的图象称为正态曲线．点拨：画出三条正态曲线：即①5.0,1；②1,0；③2,1，其图象如下图所示：观察以上三条正态曲线，得以下性质：①曲线在x轴的上方，与x轴不相交．②曲线关于直线x对称，且在x时位于最高点．③当x时，曲线上升；当x时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近．④当一定时，曲线的形状由确定．越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．注意:当1,0时，正态总体称为标准正态总体，相应的函数表示式是R,21)(22xexfx．相应的曲线称为标准正态曲线．★热点考点题型探析★考点一：正态分布的应用题型1.正态分布公式的应用[例1]给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ奎屯王新敞新疆（１）),(,21)(22xexfx-3-（２）),(,221)(8)1(2xexfx（３）22(1)2(),(,)2xfxex[解题思路]：考查正态总体的概率密度函数公式,,,21)(222)(Rxexfx式中,是参数，分别表示总体的平均数（期望值）与标准差解析：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5奎屯王新敞新疆[例2]某物体的温度T(0F)是一个随机变量，已知)2,6.98(~NT，又随机变量S(0C)满足5(32)9ST，求S的概率密度。[解题思路]：0F为华氏度，。C为摄氏度。S为T的线性函数，由要点4知S也服从正态分布，再由要点1求出S的概率密度。解析:55()[()32](98.632)3799ESET252550()()298181DSDT所以随机变量S的概率密度为21(37)250811()25081ySfye281(37)1009,()10yey[例3]灯泡厂生产的白炽灯寿命ξ（单位：ｈ），已知ξ～N（1000，302)，要使灯泡的平均寿命为1000ｈ的概率为99.7％，问灯泡的最低使用寿命应控制在多少小时以上？[解题思路]：进行假设检验的方法与步骤：（1）提出统计假设，具体问题里的统计假设服从正态分布N（μ，σ2）；（2）确定一次试验a值是否落入（μ－3σ，μ＋3σ）；（3）作出判断：如果)3,3(a，就接受假设；如果)3,3(a，由于这是小概率事件，就拒绝假设，说明生产过程中出现了异常情况解析：解：因为灯泡寿命ξ～N(1000，302)，故ξ在（1000－3×30，1000＋3×30）内取值的概率为99.7％，即在（910，1090）内取值的概率为99.7％，故灯泡的最低使用寿命应控制在910ｈ以上奎屯王新敞新疆【名师指引】正态总体在（μ－3σ，μ＋3σ）以外的概率只有千分之三，这是一个很小的概率奎屯王新敞新疆这样我们在研究问题时可以集中在（μ－3σ，μ＋3σ）中研究，而忽略其中很小的一-4-部分，从而简化了正态正态中研究的问题【新题导练】1.正态总体为1,0概率密度函数)(xf是()A．奇函数B．偶函数C．非奇百偶函数D．既是奇函数又是偶函数答案:B2．如果随机变量~NED，，，231，则P11等于（）A.241()B.()()42C.()()24D.()()42答案:B解析：这里的ED31，由换算关系式Fxx()，有PPxPx1111131324121442()()()()()★抢分频道★基础巩固训练1.正态曲线是A.递增函数B.递减函数C.从左到右先增后减的函数D.从左到右先减后增的函数答案：C2.标准正态分布的均数与标准差分别为()。A．0与1B．1与0C．0与0D．1与1答案:A3.正态分布有两个参数与，()相应的正态曲线的形状越扁平。A．越大B．越小C．越大D．越小答案:C4．下列函数是正态分布密度函数的是()-5-A．2221)(rxexfB．2222)(xexfC．412221)(xexfD．2221)(xexf答案:B5．（安徽卷10）．设两个正态分布2111()(0)N，和2222()(0)N，的密度函数图像如图所示。则有（）A．1212,B．1212,C．1212,D．1212,答案:A6．(湖南省十二校2008届高三第一次联考)某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为)(1021)(200)80(2Rxexfx，则下列命题不正确的是（）A．该市这次考试的数学平均成绩为80分；B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同；C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同；D．该市这次考试的数学成绩标准差为10.答案：B综合拔高训练7．(河南省许昌市2008年上期末质量评估)设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，记φ(x)＝p(ξx)，给出下列结论：①φ(0)＝0．5；②φ(x)＝1－φ(－x)；③p(｜ξ｜2)＝2φ(2)－1。则正确结论的序号是_____________答案：①②③8．（2008湖南卷）设随机变量服从正态分布(2,9)N,若(1)(1)PcPc,则c=()A.1B.2C.3D.4答案:B9．(东北区三省四市2008年第一次联合考试)某市统考成绩大体上反映了全市学生的成绩状-6-况，因此可以把统考成绩作为总体，设平均成绩480，标准差100，总体服从正态分布，若全市重点校录取率为40%，那么重点录取分数线可能划在（已知φ（0.25）＝0.6）A．525分B．515分C．505分D．495分答案：C10．已知某车间正常生产的某种零件的尺寸满足正态分布N(27.45,0.052),质量检验员随机抽查了10个零件，测得它们的尺寸为：27.34、27.49、27.55、27.23、27.40、27.46、27.38、27.58、27.54、27.68奎屯王新敞新疆请你根据正态分布的小概率事件，帮助质量检验员确定哪些零件应该判定在非正常状态下生产的奎屯王新敞新疆解：小概率事件是指在一次试验中几乎不可能发生的思想奎屯王新敞新疆我们对落在区间（27.45－3×0.05，27.45＋3×0.05）＝（27.3，27.6）之外生产的零件尺寸做出拒绝接受零件是正常状态下生产的假设奎屯王新敞新疆有两个零件不符合落在区间（27.3，27.6）之内；答：尺寸为27.23和尺寸为27.68的两个零件，它们是在非正常状态下生产的