机械控制工程基础10

控制工程基础（第十章）清华大学10.1计算机控制系统的组成10.2线性离散系统的数学模型和分析方法10.3离散状态空间模型10.4线性离散系统的稳定性分析10.5计算机控制系统的模拟化设计方法计算机控制系统利用计算机代替常规的模拟控制器，使它成为控制系统的一个组成部分，这种有计算机参加控制的系统简称为计算机控制系统。计算机控制系统是以自动控制理论与计算机技术为基础的，目前控制系统都在向基于计算机控制的方向发展。计算机控制系统的控制规律是由计算机来实现的，它可以实现常规控制方法难以实现的更为复杂的控制规律，可以避免模拟电路实现的许多困难。一、计算机控制系统的组成•计算机控制发展过程•计算机控制系统组成图•计算机内信号的处理和传递过程•计算机控制理论▲计算机控制发展过程•开创期1955年•直接数字控制期1962年•小型计算机控制期1967年•微型计算机控制期1972年•数字控制普遍应用期1980年•集散型控制期1990年计算机控制系统的分类•按功能分：操作指导控制系统，监督控制系统，直接数字控制系统(DDC)等。•按控制规律分：程序控制，数字PID控制，有限拍控制，极点配置控制，复杂规律控制等。•按结构形式分：集中型计算机控制系统，分散型（或分布式）计算机控制系统等。•按控制方式分：开环控制，闭环控制▲计算机控制系统的组成图•采样时刻：把实测信号转换成数字形式的时刻。•采样周期：两次相邻采样之间的时间，记作。最常用的是周期性采样。•表示参考输入信号（给定信号）•表示系统的反馈信号•表示偏差信号•表示控制信号)(tuc)(ty)(te)(tuT被控对象被控对象是指所要控制的设备，实际对象可能是这几种基本环节的串联。执行器执行器是向控制对象提供运动力的装置，是控制系统中的重要部件。测量环节测量环节通常由传感器和测量电路组成，它通常将被控对象的参数转换为电的信号。▲计算机内信号的处理和传递过程数字调节器是以计算机为核心，加上采样保持器、模-数转换器、数-模转换器及保持器组成的。其硬件结构及信息传递过程如下图所示。•采样：指每隔一定的时间间隔把连续信号抽样成采样信号的过程。•理想采样器：理想采样器是一种数学抽象。,0,2,1,0,),()(*其它kkTttete采样示意图0)()(kTkTtt0)()()(kkTtkTete乃奎斯特证明，要把正弦信号从它的采样值中复现出来，每周期至少必须采样两次。香农（Shannon）于1949年在他的重要论文中完全解决了这个问题。这就是著名的采样定理。香农（C.Shannon）1916~2001,MIT教授，被誉为信息论之父。香农采样定理：如果连续信号的傅里叶变换在以外为零，则当采样角频率大于时，此信号完全可由其等周期采样点上的值所唯一确定。这时应用插值公式乃奎斯特频率ms22sNksskTtkTtkTftf2)(2)(sin)()(式中，)(tf)(F),(00s02设连续信号的频率特性为，则采样信号的频率特性为)(*tf)(tf)(*jF)(jFkskjFTjF)]([1)(*•模-数转换器（量化过程）将离散的模拟信号转换成时间和幅值均离散的数字量。转换的精度取决于模-数转换器的位数。量化单位量化误差)(*te)(kTen12minmaxnyy2)()(*kTete•数字调节器（运算过程）数字调节器的控制规律由计算机程序实现。控制律可用下式描述由控制算法决定，是计算机按照一定的控制规律计算出的控制信号。)),(),(()(TkTekTefkTuf)(kTu)()(kTukTe•数-模转换器（）将数字量转换成离散模拟信号)(kTu)(*tu)()(*tukTu•保持：把离散模拟信号转变成模拟信号的过程。•保持器：实现保持作用的电路。保持器起外推器的作用，根据过去时刻的离散值，外推出采样点之间的数值。•零阶保持器(ZeroOrderHolder，缩写为ZOH)：把时刻的信号一直保持到时刻前的瞬间，其外推公式为TtkTutkTu0,)()(kTTkT•零阶保持器的单位脉冲响应•零阶保持器的传递函数•零阶保持器的频率特性•零阶保持器的幅频特性和相频特性•零阶保持器具有低通特性和相角滞后特性。)(1)(1)(0TtttgsetgLsGTs1)]([)(002022sin1)(TjTjeTTTjejG22sin)(0TTTjG2)(0TjG▲计算机控制理论计算机控制系统（离散系统）理论与设计系统辨识面向计算机的数学模型（离散时间系统描述）输入输出模型状态空间模型线性常系数差分方程脉冲传递函数迭代法古典法变换法定义连续系统的离散化系统的脉冲传递函数定义连续时间状态空间模型离散化离散时间系统分析Z变换稳定性能控性能观性计算机控制设计方法模拟化设计方法基于输入输出模型的设计方法最少拍控制极点配置方法最小方差控制基于状态空间模型的设计方法极点配置方法最优滤波最优控制自适应控制仿真、调整、实现•计算机控制系统中包含有数字环节，即是典型的数字控制系统，对时变非线性的数字环节进行严格的分析十分困难。若忽略数字信号的量化效应，则计算机控制系统可看成是采样控制系统。•建立一种表达法来研究采样控制系统。首先把执行器、被控对象用传递函数来表示，A/D转换器表示成一个理想的采样器，D/A转换器表示为一个采样器后接零阶保持器的理想采样保持电路，计算机则表示成一个能把一种冲激调制信号变换成另一种冲激调制信号的系统，计算机中实现的算法用表示。)(zD•采样控制系统中既包含连续信号，也包含采样信号，不同的信号混合在一起，有时分析起来会比较麻烦，在大多数情况下，只描述系统在采样瞬间的状态就足够了。这时感兴趣的仅仅是离散时间上的信号。•在采样控制系统中，如果将其中的连续环节离散化，则整个系统便成为纯粹的离散时间系统。•离散时间系统：若系统的输入和输出都是离散时间信号，则称此系统为离散时间系统。•离散系统理论主要指对离散时间系统进行建模、分析、设计、仿真、实现的各种方法研究。包括：差分方程，Z变换理论，离散系统性能及稳定性分析，系统设计方法等。二、线性离散系统的数学模型和分析方法•线性离散系统的数学描述•线性差分方程的解法•z变换•脉冲传递函数▲线性离散系统的数学模型对于单输入单输出的线性离散系统，其输入输出关系可以用线性常系数差分方程描述(为书写方便，省略周期)所谓线性离散系统，即表征离散系统特性的差分方程满足叠加原理。差分方程中最高和最低指数之差称为差分方程的阶数。)()1()()()1()(101mkubkubkubnkyakyakymnT差分方程可写成以下紧缩算子形式。其中是引入的后移算子)()()()(11kuqBkyqAnnqaqaqA1111)(nmqbqbbqBmm,)(1101)1()(1kykyq•齐次差分方程：差分方程右端各阶差分项的系数均为零。表征线性离散系统在没有外界作用的情况下系统的自由运动，反映了系统本身的固有特性。•非齐次差分方程：差分方程右端各阶差分项的系数不全为零，即包含输入作用。▲线性差分方程的解法1．迭代法迭代法是指如果已知差分方程和输入序列，并且给出输出序列的初始值，就可以利用差分方程的迭代关系逐步计算出所需要的输出序列。迭代法的优点是便于计算机运算，缺点是不能得到数学解析式。例已知差分方程输入序列为，初始条件为，试用迭代法求解差分方程。解：逐步以代入差分方程，则有，，，，利用迭代法可以得到任意时刻的输出序列。)(2)()2()(TkTukTuTkTykTy000,)(kkkkTu0)()0(Tyy,4,3,2k0)0(y0)(Ty，4)2(Ty，7)3(Ty，,6)4(Ty)(kTy2．古典法差分方程的古典解法步骤可归纳为：(1)求齐次差分方程的通解；(2)求非齐次差分方程的一个特解；(3)差分方程的全解为；(4)利用n个已知的初始条件或用迭代法求出的初始条件确定通解中的n个待定系数。)(1kTy)(2kTy)()()(21kTykTykTy设齐次方程为•如果特征根各不相同（无重根），则差分方程的通解为式中，（）为待定系数，是特征方程的根，由的n个初始条件确定。0)()()(1nTkTyaTkTyakTynnikiiknnkkqAqAqAqAkTy122111)(iAni,,2,1)(kTyiq•重根的情况下，通解的形式将有所不同。假设是特征方程的l重根，那么在通解中相应于的部分将有l项，即iqiqljkijljkilkilkilqkAqAqkAqkA12211•有个重根，其余的不是重根，即则通解为其中，为待定系数。rjiqriqqji,,,1rrinrikiikiiqcqkckTy11111)(nici,,2,1,综上所述，如果假设n阶差分方程的特征方程具有r个不同的根，的阶数为（=1时为单根），，则差分方程的通解为式中，（，）为待定系数，由的n个初始条件确定。),2,1(riqiiqililnlrii1riljkijlijiiqkAkTy111)(ijAri,,2,1ilj,,2,1)(kTy特解用试探法求出，与几种典型输入信号对应的特解形式如下表输入信号)(kTu输出响应的特解)(2kTymk1121mmmBkBkBkkBkkBkB211mkmkmkmBkBkB2211不是差分方程的特征根是差分方程的特征根之一相异根次重根例考虑二阶差分方程求解差分方程。解：特征方程为其特征根为和。这时，齐次方程的通解为kkTyTkTyTkTy3)(2)(3)2(0)()0(Tyy0)2)(1(232qqqq11q22q2rn121llkAAkTy2)(211设差分方程特解为，代入差分方程试探得求出B=1/2差分方程的全解为代入初始条件，得求出A1=1/2和A2=-1。因而非齐次差分方程的全解为kBkTy3)(2kkkkB3]32333[12kkAAkTy3212)(2102320212121AAAA0,321221)(kkTykk例考虑三阶差分方程初始条件为，，，求解差分方程。解：特征方程为其特征根为（二重根）和。这时，，，。齐次方程的通解为0)(4)(8)2(5)3(kTyTkTyTkTyTkTy1)0(y0)(Ty1)2(Ty0)1()2(485223qqqqq21q12q3n2r21l12l321122)(AAkAkTykk该差分方程是一个齐次方程，因此齐次方程的通解也是差分方程的全解代入初始条件，得求出，和。因而差分方程的全解为32122)(AAkAkTykk148022132132132AAAAAAAA5.01A22A33A0,322)(11kkkTykk3．变换法与微分方程的古典解法类似，差分方程的古典解法也比较麻烦。在连续系统中引入拉氏变换以后使得求解复杂的微积分问题变成了简单的代数运算。在求解差分方程时，同样可以采用变换法，引入Z变换后，使得求解差分方程变得十分简便。▲z变换类似拉氏变换理论成功地应用于连续时间系统中，霍尔维兹于1947年引进了z变换，这种变换由拉格兹尼和扎德（Zadeh）于1952年命名。在线性离散系统中，可以对采样信号作拉氏变换，采样信号表达式为令，则称为的离散拉氏变换或z变换。一般称为离散序列的z变换。sTez)(ˆ)()(ˆ)(0*kTyZzkTytyLzYkk)