数学人教版九年级下册相似三角形的模型

相似三角形模型——从基本图形到中考题的演变（1）人教版初中《数学》九年级下册第二十七章复习专题学习目标1、掌握相似三角形的基本图形。通过图形的变化，感受到图形之间的联系。2、能从复杂图形中进行识别基本图形并能利用图形解决问题。重、难点在图形中找或补出基本图形，运用基本图形解决问题。回顾与反思判定两个三角形相似的方法：5.两角对应相等的两个三角形相似。4.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。3.三边对应成比例的两个三角形相似。1.定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。2.平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.相似三角形基本图形的归纳：现在给你一个锐角三形ABC和一条直线MN问题：直线MN与AB、AC边或其延长线相交，所截得三角形与△ABC相似，请同学们作出图形，并说明相似的理由。ABCMN第一种作法：理由：（1）DE∥BC（2）∠ADE=∠B或∠AED=∠C（3）AD：AB=AE：AC第二种作法：理由：（1）∠ADE=∠C或∠AED=∠B（2）AE：AB=AD：ACABCADEBCEDA型反A型第三种作法：理由：（1）DE∥BC（2）∠ADE=∠B或∠AED=∠C（3）AD：AB=AE：AC第四种作法：理由：（1）∠ADE=∠C或∠AED=∠B（2）AE：AB=AD：ACBCABCEDMNAEDMNX型蝴蝶型第五种作法：理由：（1）DE∥BC（2）∠ADE=∠ABC或∠AED=∠ACB（3）AD：AB=AE：AC第六种作法：理由：（1）∠ADE=∠ACB或∠AED=∠ABC（2）AE：AB=AD：ACABCABCDEMNMDEN第七种作法：（1）∠ACD=∠B（2）∠ADC=∠ACB（3）AD：AC=AC：ABABDCMN母子型△ADE绕点A旋转180度ABDADEBCABCDEBCADE点E移到与C点重合∠ACB=Rt∠CD⊥AB相似三角形基本图形整理ABCDADEBC1.（2016•巴中）如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：1点击中考B2.（2016•安徽）如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（）A．4B．4C．6D．4点击中考B如图，已知EM⊥AM，交AC于D，CE=DE，求证：2ED•DM=AD•CD.ECDMAF除以上方法外，同学们还能想出其它的“补图”的方法吗？G作法1：延长DE到F，使EF=DE,连接CF.作法2：取AD的中点G,连接MG.合作探究（1）点E为BC上任意一点，若∠B=∠C=60°,∠AEF=∠C,则△ABE与△ECF的关系还成立吗？说明理由（2）点E为BC上任意一点若∠B=∠C=α,∠AEF=∠C,则△ABE与△ECF的关系还成立吗？C60°60°60°ABEFαααABCEFαααABFCE60°60°60°CABEF“M”型相似，也称“三等角型”相似。△ABE∽△ECF△ADE绕点A旋转180度ABDADEBCABCDEBCADE点E移到与C点重合∠ACB=Rt∠CD⊥AB相似三角形基本图形整理ABCDADEBC123231直角变为任意角三直角型三等角型EBCDF1.已知：D为BC上一点，∠B=∠C=∠EDF=60°,BE=6,CD=3,CF=4,则BD=____.A634xEBCDFA牛刀小试82.如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则tana=_______21EF3.如图,在等腰△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°（1）求证：△ABD∽△DCE（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值ABCDE1xy巩固提高（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值解：∵△ABD∽△DCE1xy1y2x∴ABBDCDCE112xyx即∴12yxx∴221yxx2212202yxx当22x时12y最小值如图,在等腰△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°ABCDE构造相似图形间接求已知相似图形直接求相似基本图形的运用方程思想分类思想学会从复杂图形中分解出基本图形整体思想转化思想达标测评基本图形1DEMNH过D作DH∥EC交BC延长线于点H(1)试找出图中的相似三角形?(2)若AE:AC=1:2,则AC:DH=_______;若⊿ABC的周长为4,则⊿BDH的周长为_____.若⊿ABC的面积为4,则⊿BDH的面积为_____.⊿ADE∽⊿ABC∽⊿DBH2：369DEMN平行法BCAxy(-3,0)(1,0)2.（1）请在x轴上找一点D，使得⊿BDA与⊿BAC相似（不包含全等），并求出点D的坐标；（2）在（1）的条件下，如果P、Q分别是BA、BD上的动点，连结PQ，设BP＝DQ＝m，问：是否存在这样的m，使得⊿BPQ与⊿BDA相似？如存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。达标测评OD（1）∵⊿BDA∽⊿BAC∴∠CAD＝∠ABC∴tan∠CAD＝tan∠ABC=∵BC=4∴AC=BC·tan∠ABC=3∴CD=AC·tan∠CAD=3×=∴OD=OC+CD=1+=∴D(,0)34349494134134tan∠ABC=43(2)当PQ⊥BD时，⊿BPQ∽⊿BDA则即:BPBA=BDBQ即BPBQBDBA解得：12536m)4133)(4133(5mm思考题PQPQ(1)当PQ∥AD时，⊿BPQ∽⊿BAD则即：133413534mm解得：259mBPBQBABDBCAxy(-3,0)(1,0)tan∠ABC=43OD有公共角∠B,“A”型相似