2.2.1综合法和分析法1

2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法(1)演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.复习推理合情推理（或然性推理）演绎推理（必然性推理）归纳(特殊到一般）类比（特殊到特殊）三段论（一般到特殊）合情推理得到的结论是不可靠的，需要证明。数学中证明的方法有哪些呢？间接证明（反证法）分析法综合法直接证明证明的方法例:已知a0,b0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc因为b2+c2≥2bc,a0所以a(b2+c2)≥2abc.又因为c2+b2≥2bc,b0所以b(c2+a2)≥2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.证明:在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、定理、公理、性质等出发通过推理导出所要的结论。利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法也叫顺推法用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:1PQ12QQ23QQnQQ…1、综合法：综合法是由一个个推理组成的直接证明1概念直接从原命题的条件逐步推得命题成立2直接证明的一般形式：本题结论已知定理已知公理已知定义本题条件例1:如图,△ABC在平面α外,求证:P,Q,R三点共线..,,RACQBCPABABCPQR分析：立体几何中证明三点共线或三线共点一般要用公理2。公理2的内容是什么?此题要证明三点共线，需要说明这三点均在一个平面上，则这三点一定在交线上。.ACRBCQABPRQPRACQBCPAB，，，，，，证明：（1）（2）ABCRQP平面，，）得由（2的公共点与平面是平面，，因此ABCRQP三点共线，，的交线上，即与平面在平面三点，，有一条交线，所以因为两平面相交有且只RQPABCRQP222)(||||21:,,,2babaSbCAaCBABCABC求证设中在例分析：由已知条件和结论我们联想到数量积定义和三解形的面积公式：CCCabS2cos1sinsin21利用由数量积定义和上公式结合结论探求证明思路证明：babaCCbaSABC.cossin21，因为2222222222222).(41).141cos141sin41bababababaCbaCbaSABC（）（所以222).(21babaSABC于是例3：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．分析：把题中的文字语言转化为符号语言：A+C=2B⑴，b2=ac⑵由（1）联想到内角各能得到什么？由（2）联想到三角形什么知识？余弦定理，二者联系起来能得到什么结论证明：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C①CBAABCCBA的内角，所以为，，因为由①②，得②3B③由啊，a，b，c成等比数列，有acb2④由余弦定理及③，可得accaBaccab22222cos2再由④，得0222）即（caacacca因此，a=c从而有A=C由②③⑤，得3CBA.为等边三角形所以ABC【巩固练习】abbaba16)sintan,sintan22cossincos122244（：求证已知、、求证：8)11)(11)(111,,,3cbacbaRcba（求证：、已知的值。求两点。、与抛物线交于过焦点的弦、已知抛物线212122112),(),(,)0(24yyxxyxByxAppxy5.设a0，是R上的偶函数。（1）求a的值；（2）证明f(x)在（0，＋∞）上是增函数xxeaaexf)(利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:1PQ12QQ23QQnQQ…小结综合法的定义:作业Ｐ501