第二章--3--第1课时条件概率

§3条件概率与独立事件第1课时条件概率[学习目标]1．理解条件概率的定义．2．掌握条件概率的计算方法．3．利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．[知识链接]1．3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比其他同学小？答最后一名同学抽到中奖奖券的概率为13，不比其他同学小．2．若事件A，B互斥，则P(B|A)是多少？答A与B互斥，即A，B不同时发生．∴P(AB)＝0，∴P(B|A)＝0.[预习导引]1．条件概率的概念设A，B为两个事件，且P(B)0，称P(A|B)＝P（AB）P（B）为在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率．P(A|B)读作B发生的条件下A发生的概率．2．条件概率的性质(1)P(A|B)∈[0，1]．(2)如果B与C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A).要点一条件概率例1一个盒子中有6个白球、4个黑球，每次从中不放回地任取1个，连取两次，求第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的概率．解法一记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黑球”为事件B.显然，事件“第一次取到白球，第二次取到黑球”的概率为P(AB)＝6×410×9＝415.由条件概率的计算公式，得P(B|A)＝P（AB）P（A）＝415610＝49.法二这个问题还可以这样理解：第一次取到白球，则只剩9个球，其中5个白球，4个黑球，在这个前提下，第二次取到黑球的概率是49.规律方法(1)对于古典概型的概率求法要搞清楚基本事件总数．(2)条件概率的定义揭示了P(A)，P(AB)及P(B|A)三者之间的关系，反映了“知二求一”的互化关系．跟踪演练1设100件产品中有70件一等品，25件二等品，其余为三等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1件，求：(1)取得一等品的概率；(2)已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．解设B表示取得一等品，A表示取得合格品，则(1)因为100件产品中有70件一等品，P(B)＝70100＝710.(2)法一因为95件合格品中有70件一等品，又由于一等品也是合格品，∴AB＝B，∴P(B|A)＝7095＝1419.法二P(B|A)＝P（AB）P（A）＝7010095100＝1419.要点二条件概率的综合应用例2在某次考试中，从20道题中随机抽取6道题，若考生至少能答对其中的4道即可通过；若至少能答对其中5道就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．解设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，另两道答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)C610C620＋C510·C110C620＋C410·C210C620＝12180C620.∵P(AD)＝P(A∩D)＝P(A)，P(BD)＝P(B∩D)＝P(B)，∴P(E|D)＝P((A∪B)|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝P（A）P（D）＋P（B）P（D）＝C610C62012180C620＋C510·C110C62012180C620＝1358.所以他获得优秀成绩的概率是1358.规律方法当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得较复杂事件的概率．跟踪演练2高二·一班和高二·二班两班共有学生120名，其中女同学50名，若一班有70名同学，而女生30名，问在碰到一班同学时，正好碰到一名女同学的概率．解设事件A为“碰到一班的一名同学”，事件B为“正好碰到一班的一名女同学”，易知n(A)＝70，n(AB)＝n(B)＝30，由条件概率公式求得P(B|A)＝n（AB）n（A）＝37.1．下列说法正确的是()A．P(B|A)＜P(AB)B．P(B|A)＝P（B）P（A）是可能的C．0＜P(B|A)＜1D．P(A|A)＝0答案B解析∵P(B|A)＝P（AB）P（A），而P(A)≤1，∴P(B|A)≥P(AB)，∴A错，当P(A)＝1时，P(AB)＝P(B)，∴P(B|A)＝P（AB）P（A）＝P（B）P（A），∴B正确．而0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，∴C，D错，故选B.2．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于()A.49B.29C.12D.13答案C解析由题意可知．n(B)＝C1322＝12，n(AB)＝A33＝6.∴P(A|B)＝n（AB）n（B）＝612＝12.3．设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，它能活到25岁的概率是________．答案0.5解析设事件A为“能活到20岁”，事件B为“能活到25岁”，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，而所求概率为P(B|A)，由于B⊆A，故AB＝B，于是P(B|A)＝P（AB）P（A）＝P（B）P（A）＝0.40.8＝0.5，所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5.4．考虑恰有两个小孩的家庭．若已知某家有男孩，求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩(相当于第二个也是男孩)的概率(假定生男生女为等可能)．解Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}．设B＝“有男孩”，则B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}．A＝“有两个男孩”，则A＝{(男，男)}，B1＝“第一个是男孩”，则B1＝{(男，男)，(男，女)}于是得P(B)＝34，P(BA)＝P(A)＝14，∴P(A|B)＝P（BA）P（B）＝13；P(B1)＝12，P(B1A)＝P(A)＝14，∴P(A|B1)＝P（B1A）P（B1）＝12.1．条件概率：P(A|B)＝P（AB）P（B）＝n（AB）n（B）.2．概率P(A|B)与P(AB)的区别与联系：P(AB)表示在样本空间Ω中，计算AB发生的概率，而P(A|B)表示在缩小的样本空间ΩB中，计算A发生的概率．用古典概型公式，则P(A|B)＝AB中样本点数ΩB中样本点数，P(AB)＝AB中样本点数Ω中样本点数.一、基础达标1．若P(A)＝34，P(B|A)＝12，则P(AB)等于()A.23B.38C.13D.58答案B解析利用条件概率的乘法公式求解．P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝34×12＝38.2．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是()A.110B.210C.810D.910答案A解析某人第一次失败，第二次成功的概率为P＝9×110×9＝110，所以选A.3．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，则在下雨天里，刮风的概率为()A.8225B.12C.38D.34答案C解析A＝“下雨”，B＝“刮风”，AB＝“刮风又下雨”，∴P(B|A)＝P（AB）P（A）＝110415＝38.4．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是()A．0.2B．0.33C．0.5D．0.6答案A解析A＝“数学不及格”，B＝“语文不及格”，P(B|A)＝P（AB）P（A）＝0.030.15＝0.2.所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为0.2.5．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次取出2只球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为________．答案59解析A＝{第一次取到新球}，B＝{第二次取到新球}，则n(A)＝C16C19，n(AB)＝C16C15，∴P(B|A)＝n（AB）n（A）＝C16C15C16C19＝59.6．把一枚硬币任意掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，事件B＝{第二次出现反面}，则P(B|A)＝________.答案12解析P(A)＝24＝12，P(AB)＝14，故P(B|A)＝P（AB）P（A）＝12.7．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．解设“第i次按对密码”为事件Ai(i＝1，2)，则A＝A1∪(A－1A2)表示“不超过2次就按对密码”．(1)因为事件A1与事件A－1A2互斥，由概率的加法公式得P(A)＝P(A1)＋P(A－1A2)＝110＋9×110×9＝15.(2)设“最后一位按偶数”为事件B，则P(A|B)＝P(A1|B)＋P(A－1A2|B)＝15＋4×15×4＝25.二、能力提升8．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为()A.119B.1738C.419D.217答案D解析设事件A表示“抽到2张都是假钞”，事件B为“2张中至少有一张假钞”，所以为P(A|B)．而P(AB)＝C25C220，P(B)＝C25＋C15C115C220.∴P(A|B)＝P（AB）P（B）＝217.9．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．答案0.72解析设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9.根据条件概率公式P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.10．如图，四边形EFGH是以O为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则(1)P(A)＝________；(2)P(B|A)＝________.答案(1)2π(2)14解析正方形的面积为2，圆的面积为π.(1)∵A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，∴P(A)＝2π.(2)∵B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，∴P(AB)＝12π，∴P(B|A)＝P（AB）P（A）＝14.11．抛掷红、蓝两枚骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两枚骰子的点数之和大于8”．(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；(2)当已知蓝色骰子点数为3或6时，问两枚骰子的点数之和大于8的概率为多少？解(1)设x为掷红骰子得到的点数，y为掷蓝骰子得到的点数，则所有可能的事件与(x，y)一一对应，由题意作图(如图)．显然：P(A)＝1236＝13，P(B)＝1036＝518，P(AB)＝536.(2)法一P(B|A)＝n（AB）n（A）＝512.法二P(B|A)＝P（AB）P（A）＝53613＝512.12．某生在一次口试中，共有10题供选择，已知该生会答其中6题，随机从中抽5题供考生回答，答对3题及格，求该生在第一题不会答的情况下及格的概率．解设事件A为从10题中依次抽5题，第一题不会答；设事件B为从10题中依次抽5题，第一题不会答，其余4题中有3题或4题会答．n(A)＝C14C49，n(B)＝C14(C36C13＋C46C03)．则P＝C14（C36C13＋C46C03）C14C49＝2542.所以该生在第一题不会答的情况下及格的概率为2542.三、探究与创新13．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回的依次抽取2个节目，求(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2