平面波展开法

1平面波展开法一、布洛赫定理：当势场具有周期性时,波动方程的解ϕ具有性质:()()nikRnrRerϕϕ+=i表明当平移晶格矢量nR时,波函数只增加了位相因子nikRei,波函数的模不变,原胞间的对应点为nrR+与r。布洛赫函数：根据布洛赫定理可以把波函数写成()()ikrreurϕ=i，其中()ur具有与晶格相同的周期性()()nurRur+=，k是简约波矢，对应于平移操作本征值的量子数,用来表示原胞之间波函数位相的变化,波函数和能量本征值都与k有关,不同的k表示不同的状态。(ˆRTϕλϕ=,ikreλ⋅=)二、（1）弹性波动方程：(){}212uuuωρλμμ−−=+∇∇−∇×∇×i2ˆuuLuω−=弹性波动方程变为本征值问题，2ω是本征值。ˆuL是正定的厄米算符()()ˆˆ,,uuLLϕψϕψ=，ˆRT为空间平移操作算符，()()()ˆRTfrfrRfr=+=系数是空间r周期性函数，ˆuL与ˆRT对易ˆˆ,0uRLT⎡⎤≡⎣⎦，具有共同的本征函数，其本征函数是按布拉菲格子周期性调幅的平面波(晶体波函数)()ikriGrkGGureue⋅⋅+=∑,组成完备的正交本征函数系。(2)系数是空间r周期性函数()()rRrλλ+=、()()rRrμμ+=、()()rRrρρ+=，按傅里叶级数展开()iGrGGreρρ=∑i、()iGrGGreλλ=∑i、()iGrGGreμμ=∑i（3）本征函数()()(),ikrtkurteurω−=i()iGrkkGGurue+=∑i()(),ikGritkGGurteueω+−+=∑i31iiiibklN==∑在k上叠加一个倒格矢G：kkG′=+，求和结果不变，即不同的波矢具有相同的本征态,一个原胞中允许的k的数目为实空间中晶体的总原胞数。2（4）弹性波动方程：221ililillliuuuutxxxxxλμρ⎧⎫⎡⎤⎛⎞⎛⎞∂∂∂∂∂∂⎪⎪=++⎨⎬⎢⎥⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎪⎪⎣⎦⎩⎭()111222iikGrkGGuuetω++∂=−∂∑i()()22222likGrlkGlGGluikGuex++∂=+∂∑∑i()()3232322liGrikGrlGkGlGGiliueikGuexxxλλ++⎛⎞⎛⎞∂∂∂=+⎜⎟⎜⎟∂∂∂⎝⎠⎝⎠∑∑ii()()()323232232iliGkGrlGkGlxGGilukGGkGuexxλλ+++⎛⎞∂∂=−+++⎜⎟∂∂⎝⎠∑∑i()()4444ilikGrlkGxGiuikGuex++∂=+∂∑i()()5555iikGrikGlGluikGuex++∂=+∂∑iillliuuxxxμ⎡⎤⎛⎞∂∂∂+⎢⎥⎜⎟∂∂∂⎝⎠⎣⎦()()()()46565465454iikGriGrikGrilGkGkGlxGGGleikGueikGuexμ++++⎡⎤⎛⎞∂=+++⎢⎥⎜⎟∂⎝⎠⎣⎦∑∑∑iii()()()()()()()()()()6456546546565656545544iiiGrikGrikGrilGkGkGllxGGGiGrikGrilGkGkllxlGGGekGuekGueekGkGuekGkGuμμ++++++⎛⎞=−+++−⎜⎟⎝⎠+++++∑∑∑∑∑iiiii()444ikGrGGe++⎛⎞⎜⎟⎝⎠∑i()()()()()()566565466464556446iikGGriGkGllGGikGGrlGkGxlGGkGkGGuekGkGGueμμ++++++=−+++−+++∑∑∑∑ii3()()()()()()()23323271561765176523221556iikGGrlGkGlxGGiGrikGrikGGrikGGGkGllGGGGkGGkGueueekGkGGueKλωρμ++++++−+++++=++++++∑∑∑∑∑∑iiii()()()466464446iikGGrlGkGxlGGGKGGueμ+++⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪++⎪⎪⎩⎭∑∑i1237467567245234656367GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG=++=++=++=′===′′+=+=+=′′′==−′′=−令()()()()()()21iilkGGGlxGGGikGkGGGGGllGGGGGGlkGGxlkGkGuukGkGukGkGuλωρμμ′′′′′′′′+−′′′′−′′′−+′′′′′+−−′′′′′′−−′′′′′′+−+++=+++++∑∑∑∑∑∑GGGG′′′′′−⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑∑121iiGGlxlGGkGGGGGkGGGxlGGGlkGkGukGkGukGkGλρμωρ′′′′′′′′′′′′′′′−−−+−−′+−−−⎡⎤⎛⎞⎛⎞′′′+++⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎢⎥+⎢⎥⎛⎞⎛⎞′′′++=⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎛⎞′++⎜⎟⎝⎠∑∑∑GikGGGlGGGGuμ′′′′′′′′′′+−−−⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎛⎞′′⎪⎪⎜⎟⎝⎠⎪⎪⎩⎭∑∑∑121iiGGlxlGGkGGGkGGGxlGGGGllkGkGukGkGukGkGλρμωρμ′′′′′′′′′′′′′−−−+′+−−−⎡⎤⎛⎞⎛⎞′′′+++⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎢⎥+⎢⎥⎛⎞⎛⎞′′′++=⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎛⎞⎛⎞′′′++⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑∑GikGGGGu′′′′′′′+−⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑∑∑211iiGGlxlkGGGkGGGGGllGGGGxlkGkGuukGkGkGkGλωρρμμ′′′′′′′′′′′′′′−−−+′−+−−′−⎡⎤⎛⎞⎛⎞′′′+++⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎛⎞⎛⎞′′′⎢⎥=+++⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎛⎞⎛⎞′′′++⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎣⎦∑ikGGu′′′+′⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑∑