1.3-行列式的性质1.4-行列式展开

§1.3行列式的性质•一、行列式的性质•二、应用举例一、行列式的性质2、性质1行列式与它的转置行列式相等.行列式称为行列式的转置行列式.TDD1、记nnaaa2211nnaaa21122121nnaaaD2121nnaaannaaa2112TDnnaaa2211•例如：14243122421D对这个行列式进行转置123224412TD12)3()4(4)2()2(21411)2(2)2()4(2)3(143、性质2互换行列式的两行(列),行列式变号.141222434211D互换行列式的二、三行14243122421D例4、推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明互换相同的两行，有,DD.0D(row)(column)r表示行，c表示列ijrr5、性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.kknnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211即行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．ikr6、性质4行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式为零．证明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211.07、性质5若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和.nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211则D等于下列两个行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD122211111122211111例如8、性质6把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa122221111111111112122221()()()ijjnijjjijnninjnjnjaakaaaaakaaackcaakaaak例如例2.12101044614753124025973313211D二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为三角形行列式，从而算得行列式的值．jikrr方法二：三角形法2101044614753124025973313211D3解2101044614753124022010013211312rr21010446147531402020100132112101044614753124022010013211312rr23122rr442rr22200201001402035120132112220035120140202010013211144rr133rr222000100021100351201321134rr222002010021100351201321123rr26000001000211003512013211612454rr.126400001000211003512013211352rr4例2.2计算n阶行列式abbbbabbbbabbbbaDabbbnababbnabbabnabbbbna1111D解:将第都加到第一列得n,,3,2技巧1：行和相同，全部加到某一列abbbabbbabbbbna1111)1(babababbbbna1)1(00.)()1(1nbabna技巧2:相同元素很多，化0（或者化为三角形）.(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．三、小结行列式的6个性质§1.4行列式按行(列)展开•一、余子式与代数余子式•二、行列式按行(列)展开法则•三、关于代数余子式的重要性质•四、行列式的计算方法小结•五、思考与练习题在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作nijaij1nija.Mij，记ijjiijMA1叫做元素的代数余子式．ija例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD44424134323114121123aaaaaaaaaM2332231MA.23M一、余子式与代数余子式,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD,44434134333124232112aaaaaaaaaM1221121MA.12M,33323123222113121144aaaaaaaaaM.144444444MMA.个代数余子式对应着一个余子式和一行列式的每个元素分别引理一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．ijijAaDniijaija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD.14442412422211412113333aaaaaaaaaa例如性质３行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即ininiiiiAaAaAaD2211ni,,2,1证nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000二、行列式按行（列）展开法则nnnninaaaaaaa2111121100nnnninaaaaaaa2121121100nnnninnaaaaaaa211121100ininiiiiAaAaAa2211ni,,2,1例3.13351110243152113D03550100131111115312cc34cc方法三：用降阶法0551111115)1(330550261155526)1(31.4012rr方法四:用数学归纳法例4.1证明.coscos21000100000cos210001cos210001cosnDn证对阶数n用数学归纳法.,2,1,,2cos1cos22cos11cos,cos221结论成立时当所以因为nnDD得展开按最后一行现将的行列式也成立于阶数等于下证对的行列式结论成立假设对阶数小于,.,Dnnn.cos221DDDnnn,)2cos(,)1cos(,21nDnDnn由归纳假设;cos)2cos(])2cos([cos)2cos()1cos(cos2nnnnnnDn.结论成立所以对一切自然数n评注.,)1(1,)(,,21同型的行列式是与不否则所得的低阶行列式展开列或第行按第不能展开列或第行本例必须按第表示展开成能用其同型的为了将DnnDDDnnnn.,,.,,,其猜想结果成立然后用数学归纳法证明也可先猜想其结果如果未告诉结果纳法来证明可考虑用数学归结论时证明是与自然数有关的而要我们当行列式已告诉其结果一般来讲证用数学归纳法21211xxD12xx,)(12jijixx）式成立．时（当12n例4.2证明范德蒙(Vandermonde)行列式1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1(数学归纳法推论行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即11220,.nnijjijiaAaAaAij三、关于代数余子式的重要性质;,0,,1jijiDDAaijnkkjki当当;,0,,1jijiDDAaijnkjkik当当.,0,1jijiij当，当其中1231111111111111111nnaaaDa例6计算阶行列式(2)nn1211111011101110111nnaaDa解：先将添上一行一列，变成下面的阶行列式nD1n方法六：加边法显然,1.nnDD将的第一行乘以后加到其余各行，得1nD11211111100100100nnaaDa注意：此为爪形行列式，记住解此行列式的方法。因0ia,将第列的倍加到第一列,得(2,3,,)iin11/ia121112111110010010011111000000000nnnniinaaDDaaaaa注：此题也可不加边，直接利用倍加及爪形行列式方法例7nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111111110设,)det(11111kkkkijaaaaaD,)det(11112nnnnijbbbbbD.21DDD证明:证明:;0111111kkkkkpppppD设为化为下三角形行列式，把作运算对11DkrrDji化为下三角形行列式把作运算对22,DkccDji.0111112nnnknqqpqqD设为,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD化为下三角形行列式把算列作运，再对后行作运算的前对DkccnkrrkDjiji,nnkkqqppD1111故.21DD四、行列式的计算方法小结(3)降阶法(参见例3.1，例3.2)(最常用)(2)三角形法(参见例2.1，例2.2)利用行列式的运算性质运算把行列式化为上（下）三角形行列式，从而算得行列式的值．(4)数学归纳法(参见例4.1,例4.2)(5)利用范德蒙行列式(参见例5)(6)加边法(参见例6)(7)递推法(参见课本例1.17)(1)用行列式的逆序数定义计算（证明）计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用．在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法．小结整除。也能被明：不计算行列式的值，证整除，三数均能被已知1755272540217255,527,204.1五、思考与练习题mxxxxmxxxxmxnnn212121.2计算行列式：12313.0000000000000nnaaaaaxxxxxxx计算行列式：4.判断下列命题是否正确？(1)若n阶行列式D=0，则D有两行元素相同.(2)若n阶行列式D有一行元素为零，则D=0.(3)若元素均不为0的二阶行列式D=0，则D的两行元素对应成比例．(4)若一个n阶行列式D中为零的元