隐函数和由参数方程确定的函数的导数.

第四节隐函数和由参数方程确定的函数的导数一、隐函数的导数函数)(xfy的形式,是因变量y由含有自变量x的数学式子直接表示的函数,例如xy2sin,21xy等,称为显函数.如果变量x与y的函数关系可以由一个二元方程0),(yxF表示,例如013yx,0exyey,122yx等,对在给定范围内的每一个x,通过方程有确定的y值与之对应,所以y是x的函数,这种函数称为隐函数.定义1如果变量x、y之间的函数关系是由某一方程0),(yxF所确定,那么称这种函数是由方程0),(yxF所确定的隐函数.把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化.例如从方程013yx解出31xy,就把隐函数化成了显函数.但有的隐函数不易显化,甚至不可能显化.例如由方程0exyey确定的隐函数就不能显化.对由方程0),(yxF确定的隐函数)(xyy,在不显化的条件下,怎样求)(xy呢?假设由方程0),(yxF确定的隐函数)(xyy,将y视为中间变量,利用复合函数求导法,方程两边分别对x求导,可得到一个含有y的方程,最后解出y即得隐函数)(xyy的导数.例1已知由方程0exyey确定了隐函数)(xyy,求)(xy及)0(y.解把y看成x的函数)(xy,将方程两边分别对x求导,由复合函数的求导法则有0)()()()(xyxxyxyexy.从而)()()(xyexxyxy,即yexyxy)()0(yex.将0x代入原方程得1y,故110)0(eexyyyxy.隐函数求导方法小结:(1)把y视作复合函数的中间变量,将方程两边分别对x求导；(2)从求导后的方程中解出y；(3)隐函数求导的结果允许含有y,但求某一点的导数时不仅要代x的值,还要把对应的y值代入.例2求曲线)1(322xxy在点)2,2(处的切线方程.解把2y看成x的复合函数,方程两边分别对x求导,得xxyy2362,解得yxxy6232)0(y.因而所求切线斜率为34)2,2(y.于是所求切线方程为)2(342xy.即0234yx.例3证明抛物线)0(aayx上任一点的切线在两个坐标轴上的截距之和等于a.证方程两边分别对x求导,有02121yyx,得xyy.设),(000yxM是抛物线上任一点,则抛物线过点),(000yxM的切线斜率为00),(00xyykyx,所以切线方程为)(0000xxxyyy,即1000000yxyyyxxx.所以抛物线上任一点),(000yxM的切线在两坐标轴上的截距之和为00000000002)()(yyxxyxyyxxaayx2200)()(.例4求由方程)tan(yxy所确定的隐函数的二阶导数22dxyd.解方程两边分别对x求导,得)1)((sec2yyxy,即)(sec1)(sec22yxyxy111222yyy.从而523)1(22yyyyy)(cot)(csc32yxyx.说明：求由方程0),(yxF确定的函数)(xyy的二阶导数,可把y视为中间变量将0),(yxF两边分别对x求导,,求出),(yxy后,仍视y为中间变量,对y再求一次导数,则表达式中有y,将第一次求出的y代入后即可求出y.二、对数求导法定义2先将函数)(xfy的两边取对数,然后利用隐函数求导法求出y的导数dxdy,这种方法称为对数求导法.对以下两类函数,使用对数求导法求导一般较为简便.(1)幂指函数)()]([xgxfy)0)((xf；(2)多个因式的积、商、乘方、开方构成的函数.下面通过例题来说明这种方法.例5求幂指函数)0(uuyv的导数,其中vu,为x的可导函数.解（法一）将函数)0(uuyv两边取对数得uvylnln,两边分别对x求导,由于vuy,,都是x的函数,则由隐函数求导法则,有uuvuvyy1ln1,uuvuvuuuvuvyyvlnln.（法二）因为uvveuyln,所以由复合函数求导法则得)ln()(lnlnuveeyuvuvuuvuvuuuvuvevuvln1lnln.例6已知xxycos2)1(,求y.解两边取对数得)1ln(cosln2xxy,上式两边分别对x求导得xxxxxyy211cos)1ln(sin122,22cos21cos2)1ln(sin)1(xxxxxxyx.例7已知xxxy,求y.解两边取对数得xxyxlnln,方程两端再取对数得)ln(lnln)ln(lnxxxy,方程两端分别对x求导得xxxxxyyy1ln11ln1ln1,所以)ln1ln1(lnxxxxxxyxxx)1ln(ln2xxxxxxx.例8求函数322)2(21xxxxy的导数.解两边取对数得)2ln(32)2ln(31)1ln(ln2lnxxxxy，两边分别对x求导得xxxxyy2132)2(311121，所以)2(32)2(31112)2(21322xxxxxxxxy.例9求函数xxeyxsin1的导数.解两边取对数得xxexysinln81ln41ln121ln，方程两端分别对x求导得xxxxyysin8cos4112112，即xxeyxsin1xxxcot8141212.三、由参数方程所确定的函数的导数在许多实际问题中,变量y与x的函数关系可用参数方程).(),(tytx)(t确定,于是我们有下面定义:定义3如果参数方程).(),(tytx确定了y与x之间的函数关系,则称此函数关系所表示的函数为由参数方程所确定的函数.如何求由参数方程所确定函数的导数dxdy呢?在参数方程中,如果函数)(tx具有单调连续的反函数)(1xt,且此函数能与函数)(ty复合而成复合函数)]([1xy.假设)(),(tytx均可导,且0)(t,则根据复合函数和反函数的求导法则,可得)()(1ttdtdxdtdydxdtdtdydxdy)0)((t.即dtdxdtdydxdy0dtdx.如果函数)(),(tytx有二阶导数)0)((t,那么可求出22dxyd:dxdtttdtddxdydxddxyd)()(22)(1))(()()()()(2tttttt3))(()()()()(ttttt.例10已知椭圆的参数方程为.sin3,cos2tytx)20(t.求椭圆在3t相应点处的切线方程.解因为tttttdxdycot23sin2cos3)cos2()sin3(,所以椭圆在3t处的切线的斜率为2131233tdxdy.当3t时,23,1yx,因而椭圆在3t处的切线方程是)1(2123xy,即042yx.例11求由参数方程.cos,12tytx所确定的函数的22,dxyddxdy.解ttxydxdytt2sin,ttxttdxdtdxdydtddxyd12sin22ttttt212sincos234cossintttt.例12求由参数方程).()(),(tftftytfx()(tf存在且不为零)所确定函数的二阶导数22dxyd.解)(])()([tftftftxydxdytttttftftfttf)()()()(.)(1122tfxdxdydxydtt.四、相关变化率定义4设)(),(tyytxx都是可导函数,且x与y之间存在某种关系,从而变化率dtdx与dtdy间也存在一定关系.在已知其中一个变化率时,便可求出另一个变化率.这两个相互依赖的变化率称为相关变化率.例13落在平静水面上的石头,产生同心波纹,若最外一圈波的半径的增大率总是sm/6,问在s2末扰动水面面积的增大率为多少？解设在t秒末最外一圈水波半径为)(trr,扰动水面面积为)(tSS,则2rS.两边同时对t求导,得dtdrrdtdS2.由已知smdtdr/6,当st2时,mr1226所以)/(144612222smdtdSt.例14注水入深m8,上顶直径为m8的正圆锥容器中,其速率为min/43m,当水深为m5时,,其表面上升的速率为多少?解设在t时刻容积中的水深为h,容积为V,由相似三角形的性质得84hr,即2hr.于是123132hhrV,两边对t求导dtdhhdtdV2312,当5h,4dtdV时2516dtdhmin)/(m.m8m8rh42图