《大高考》2016届高考复习数学理(全国通用)：第八章 立体几何初步 第三节

考纲考向分析核心要点突破第三节空间点、线、面的位置关系考纲考向分析核心要点突破考点梳理考纲速览命题解密热点预测1.点线面的位置关系.2.空间中的异面直线.1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.高考对本节内容的考查以点、线、面的位置关系为主，结合线线、线面和面面平行与垂直的判定和性质考查它们之间的位置关系.本节内容作为立体几何理论方面基础性的知识，单独命题的可能性不大，其中，异面直线的判定、异面直线所成的角有时会成为命题点.考纲考向分析核心要点突破知识点一平面的基本性质及推论1.平面的基本性质名称图形文字语言符号语言公理1如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在此平面内AlBlABL⊂Α⇒______考纲考向分析核心要点突破公理2过不在同一条直线上的三个点，____________平面A，B，C不共线⇒A，B，C∈平面α且α是_____的公理2的推论推论1经过一条直线和这条直线外一点，____________平面若点A∉a，则A和a确定一个平面α且α是_____的有且只有一个唯一有且只有一个唯一考纲考向分析核心要点突破公理2的推推论2两条相交直线确定一个平面a∩b＝P⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α推论3两条平行直线确定一个平面a∥b⇒____________平面α，使a⊂α，b⊂α有且只有一个考纲考向分析核心要点突破公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线若P∈α，且P∈β，则α∩β＝a，且P∈a考纲考向分析核心要点突破2.空间两条直线(1)空间两条直线位置关系有_____、_____、_____；(2)公理4：平行于同一条直线的两条直线_________；(3)如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角___________.相交平行异面互相平行相等或互补考纲考向分析核心要点突破知识点二空间点、线、面之间的位置关系1.空间点、线、面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言_______________a∥ba∥αα∥β考纲考向分析核心要点突破相交关系图形语言符号语言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a⊂α考纲考向分析核心要点突破2.异面直线所成的角(或夹角)(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的叫做异面直线a与b所成的角.(2)范围：0，π2.锐角(或直角)考纲考向分析核心要点突破【名师助学】1.本部分知识可以归纳为：(1)四种作用：①公理1的作用：1°检验平面；2°判断直线在平面内；3°由直线在平面内判断直线上的点在平面内.②公理2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件.③公理3的作用：1°判定两平面相交；2°作两相交平面的交线；3°证明多点共线.④公理4的作用：证明空间中两直线的平行关系.考纲考向分析核心要点突破(2)一个图表：2.异面直线所成的角范围是(0°，90°].考纲考向分析核心要点突破方法1平面的性质及应用判断空间点、直线、平面位置关系的基本思路(1)根据平面几何的性质判断，通常把空间问题转化到某一个平面上；(2)取特殊图形进行验证，如正三角形、正方形、长方体、正方体、正四面体等.考纲考向分析核心要点突破【例1】对于四面体ABCD，下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号).①相对棱AB与CD所在直线异面；②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点.[解题指导](1)已知：空间四面体ABCD.(2)分析：空间四面体ABCD含有空间线、面关系，判断为假命题可以根据图形的特例寻找反例，正确的命题需要根据公理、定理或性质进行判断或证明.考纲考向分析核心要点突破解析①若AB与CD共面，则A、B、C、D四点共面，与ABCD是四面体矛盾，故①正确；②由于该四面体的相对棱不一定互相垂直，因此②不一定正确，如图所示，CD⊥AO，CD与AB不垂直时，CD与BE不垂直；③当△ABC和△ABD都是等边三角形时，两个平面内AB边上的高的垂足重合，此时两条高所在直线相交，因此③不正确；④如图所示，连接EG，GF，FH，HE，则四边形EGFH是平行四边形，∴EF、GH交于点O，且O是它们的中点，同理可证MN与EF交于EF的中点，因此三线交于一点O，因此④正确.答案①④考纲考向分析核心要点突破[点评]解决空间中点、线、面位置关系的问题，首先要明确空间位置关系的定义，然后通过转化的方法，把空间中位置关系的问题转化为平面问题解决.考纲考向分析核心要点突破方法2“三共”问题(1)证明线共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上.(2)证明点或线共面问题，一般有以下两种途径：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合.考纲考向分析核心要点突破【例2】如图所示，已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且CFCB＝CGCD＝23，求证：三条直线EF、GH、AC交于一点.考纲考向分析核心要点突破证明∵E、H分别为边AB、AD的中点，∴EH綉12BD，而CFCB＝CGCD＝23，∴FGBD＝23，且FG∥BD.∴四边形EFGH为梯形，从而两腰EF、GH必相交于一点P.∵P∈直线EF，EF⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.同理，P∈平面ADC.∴P在平面ABC和平面ADC的交线AC上.故EF、GH、AC三直线交于一点.考纲考向分析核心要点突破[点评]解决本题时，应先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线也经过该点即可.考纲考向分析核心要点突破方法3求异面直线所成的角求异面直线所成的角主要有两种方法：一是作图法.其解决方法常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.最终将空间角转化为平面角，利用解三角形的知识求解.考纲考向分析核心要点突破二是向量法.此法解题关键在于找出两异面直线的方向向量，求两向量的数量积，而要求两向量的数量积，可以求两向量的坐标，也可以把所求向量用一组基向量表示，两向量的夹角范围是[0，π]，而两异面直线所成角的范围是0，π2，应注意加以区分.设异面直线a，b所成的角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|，其中a，b分别是直线a，b的方向向量.考纲考向分析核心要点突破【例3】(2014·山东烟台模拟)在三棱锥S­ACB中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝13，SB＝29，求SC与AB所成角的余弦值.[解题指导]结合已知条件可以利用已知直线进行平移，亦可采用建系的方法求解.考纲考向分析核心要点突破解法一如图，取BC的中点E，分别在平面ABC内作DE∥AB，在平面SBC内作EF∥SC，则异面直线SC与AB所成的角为∠FED，过F作FG⊥AB于G，连接DG，则△DFG为直角三角形.由题知AC＝2，BC＝13，SB＝29可得DE＝172，EF＝2，DF＝52，在△DEF中，由余弦定理可得cos∠DEF＝DE2＋EF2－DF22DE·EF＝1717.考纲考向分析核心要点突破法二如图，以A为原点，以AB，AS所在直线分别为y，z轴，以垂直于y轴、z轴的直线为x轴，建立空间直角坐标系，则由AC＝2，BC＝13，SB＝29，得B(0，17，0)，S(0，0，23)，C21317，417，0，SC→＝21317，417，－23，AB→＝(0，17，0)，设SC与AB所成的角为θ，∵SC→·AB→＝4，|SC→||AB→|＝417，∴cosθ＝|SC→·AB→||SC→||AB→|＝1717.考纲考向分析核心要点突破[点评]求异面直线所成角的一般步骤：第一步：平移，根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；第二步：证明所作的角是异面直线所成的角；第三步：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形；第四步：解三角形求出异面直线所成角的大小.