方程的根与函数的零点(第一课时)

3.1.1方程的根与函数的零点3.1.1方程的根与函数的零点约公元50-100年前编成的《九章算术》给出了一次方程、二次方程和正系数三次方程的求根方法13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法3.1.1方程的根与函数的零点19世纪挪威数学家阿贝尔证明了五次及五次以上一般方程没有求根公式阿拉伯数学家花拉子米的《还原与对消计算概要》第一次给出了一元二次程的一般解法，并用几何方法对这一解法给出了证明3.1.1方程的根与函数的零点问题1：下列二次函数的图象与x轴交点和相应方程的根有何关系？x1=－1,x2=3x1=x2=1无实数根(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点xy0－132112－1－2－3－4xy0－132112543yx0－12112x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－2x－3y=x2－2x+1方程函数函数的图象方程的实数根函数的图象与x轴的交点x2－2x－3=0y=x2－2x+33.1.1方程的根与函数的零点问题2：二次函数的图象与x轴交点和相应二次方程的根有何关系?方程ax2+bx+c=0(a0)的根函数y=ax2+bx+c(a0)的图象判别式△=b2－4ac△＞0△=0△＜0函数的图象与x轴的交点有两个相等的实数根x1=x2xyx1x20xy0x1xy0(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点两个不相等的实数根x1、x2没有实数根结论：二次函数图象与x轴交点的横坐标就是相应方程的实数根。3.1.1方程的根与函数的零点3.1.1方程的根与函数的零点一、函数零点的定义对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数叫作函数y=f(x)的零点(zeropoint).特别注意：零点不是点，零点是实数例1、求下列函数的零点2(1)(x)=-x-+f2x32(2)f(x)=logx12=-3x=1x=1x归纳：求零点的方法（1）方程法（2）图象发3.1.1方程的根与函数的零点函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标函数y=f(x)的零点方程f(x)=0的实数根一、方程的根与函数零点的关系函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点方程f(x)=0有实数根区别：零点对于函数而言，根对于方程而言．3.1.1方程的根与函数的零点问题3：现在有两组镜头（如图所示），哪一组镜头能说明人的行程一定曾渡过河?第Ⅰ组第Ⅱ组河流河流河流河流3.1.1方程的根与函数的零点问题3：将河流抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点?x问题4：A、B与x轴的位置关系，如何用数学符号（式子）来表示?()()0fafbabOy3.1.1方程的根与函数的零点二、函数零点的存在性定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点．即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就方程f(x)=0的根．xyOabc3.1.1方程的根与函数的零点辨析1：若函数y=f(x)在区间[a,b]上不连续，但f(a)·f(b)0，则f(x)在区间(a,b)内一定没有零点么？（不一定）xab辨析2：若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，但f(a)·f(b)0，则f(x)在区间(a,b)内一定没有零点么？（不一定）xabc1c2xabc1c2xab3.1.1方程的根与函数的零点辨析3：若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)0，则f(x)在区间(a,b)内一定只有一个零点么？（不一定，有几个零点不确定）xabxab思考：增加什么条件时，函数在区间(a,b)上只有一个零点？（单调）推论：在零点存在的条件下，如果函数在[a,b]上具有单调性，函数f(x)在区间（a,b）上可存在唯一零点。3.1.1方程的根与函数的零点辨析4：若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，则一定能够得出f(x)在[a,b]上连续，或者一定有f(a)·f(b)0么？（不一定）xabc1c2xabc1c2结论：函数零点存在性定理不可逆的。3.1.1方程的根与函数的零点例2、已知函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表:X123456f(x)239-711-5-12问：那么函数在区间[1,6]上的零点至少有几个，哪些区间上一定存在零点答案：至少有3个零点分别在区间（2，3），（3，4），（4，5）上3.1.1方程的根与函数的零点x123456789f(x)由表和图可知f(2)0,f(3)0，即f(2)·f(3)0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点。由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点。－4－1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972例3：求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。(函数的部分取值和函数图象已给出).........x0－2－4－6105y2410861214876432193.1.1方程的根与函数的零点归纳总结，提高认识1．函数零点的定义2．函数的零点与方程的根的等价关系3．函数零点的存在性定理3.1.1方程的根与函数的零点布置作业，独立探究思考题必做题函数f(x)=lnx+2x－6在区间内有零点，你能想到办法求出这个零点吗？优化探究课时作业（十八）