【高考数学】最新新人教版2019届高考数学一轮复习离散型随机变量的分布列及均值和方差课件理

第6节离散型随机变量的分布列及均值和方差考纲展示1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,认识分布列刻画随机现象的重要性,会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列.2.了解超几何分布,并能进行简单应用.3.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.4.会求简单离散型随机变量的均值、方差,并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题.知识梳理自测考点专项突破解题规范夯实知识梳理自测把散落的知识连起来1.随机变量和函数有何联系和区别?提示:联系:随机变量和函数都是一种映射,随机变量是随机试验结果到实数的映射,函数是实数到实数的映射,随机试验结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值范围相当于函数的值域.区别:随机变量的自变量是试验结果,而函数的自变量是实数.2.离散型随机变量分布列的性质是什么?提示:随机变量的各个值对应的概率在[0,1]上且取所有值的概率之和等于1.3.离散型随机变量方差的意义是什么?提示:随机变量的取值与其均值的偏离程度,方差越大偏离程度越大.【教材导读】知识梳理1.离散型随机变量的概念与分布列(1)随机变量:一般地,如果随机试验的结果,可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量.通常用大写字母X,Y,Z(或小写希腊字母ξ,η,ζ)等表示,而用小写字母x,y,z(加上适当下标)等表示随机变量取的可能值.所有取值可以一一列出的随机变量,称为.离散型随机变量(2)离散型随机变量的分布列:若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi以表格的形式表示如下:Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn将上表称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列.有时为了表达简单,也用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n表示X的分布列.(3)离散型随机变量概率分布列的性质:①pi≥0,i=1,2,…,n;②p1+p2+…+pn=.12.离散型随机变量的均值(1)概念:一般地,若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)=为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)性质:若Y=aX+b,其中X是随机变量,a,b是常数,随机变量X的数学期望是E(X),则E(Y)=.x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpnaE(X)+b3.离散型随机变量的方差(1)概念:离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则(xi-E(X))2描述了xi(i=1,2,3,…,n)相对于均值E(X)的偏离程度.而D(X)=,为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.我们称D(X)为随机变量X的方差,称其算术平方根为随机变量X的标准差.21(())niiixEXp()DX(2)性质:D(aX+b)=a2D(X).4.两点分布和超几何分布(1)两点分布的分布列、均值和方差X01P1-pp若X服从成功概率为p的两点分布,则均值E(X)=p,方差D(X)=p(1-p).(2)超几何分布概念与分布列其基本模型为“在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品数,则事件{X=k}发生的概率为P(X=k)=,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*”称分布列CCCknkMNMnNX01…mP…00CCCnMNMnN11CCCnMNMnNCCCmnmMNMnN为超几何分布列,如果随机变量X的分布列为超几何分布列,则称随机变量X服从超几何分布.双基自测1.抛掷甲、乙两颗骰子,所得点数之和为X,那么X=4表示的基本事件是()(A)一颗是3点,一颗是1点(B)两颗都是2点(C)一颗是3点,一颗是1点或两颗都是2点(D)甲是3点,乙是1点或甲是1点,乙是3点或两颗都是2点D解析:甲是3点,乙是1点与甲是1点,乙是3点是试验的两个不同结果,故选D.2.某射手射击所得环数X的分布列为则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为()(A)0.28(B)0.88(C)0.79(D)0.51CX45678910P0.020.040.060.090.280.290.22解析:P(X7)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)=0.28+0.29+0.22=0.79.3.投掷一枚硬币,规定正面向上得1分,反面向上得-1分,则X的期望E(X)=.解析:X的分布列为所求的均值为E(X)=-1×0.5+1×0.5=0.答案:0X-11P0.50.54.一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒子中任取3个球来用,用完即为旧的,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,则P(X=4)的值为.解析:事件“X=4”表示取出的3个球有1个新球,2个旧球,故P(X=4)=1293312CCC=27220.答案:27220考点专项突破在讲练中理解知识考点一离散型随机变量的分布列【例1】导学号38486211为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.解:(1)由已知有P(A)=2222233348CCCCC=635.所以,事件A发生的概率为635.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;触新的教材相信不管是对于同学自己而言还是对于家长朋友们而言，可能都还需要一定的时间去适应，但学习是一刻也不能松懈的事情，新学期除了适应教材的变化以外，一些试题的变化也必须适应，因此就必须在课下进行一些练习。但是问题就来了，很多家长朋友都表示孩子现在换了教材，但是自己找到的课外练习题却还是原来的教材版本的，不适应孩子的教材，不知道该怎么办才好了，眼看孩子马上就要结束第一单元的学习了，可是一直没找大适合的资料，没办法进行课后的巩固练习了。zgl(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列.解:(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X=k)=45348CCCkk(k=1,2,3,4).所以,随机变量X的分布列为X1234P1143737114跟踪训练1:从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中,等可能地取出一个,记所取出的非空子集的元素个数为ξ,求ξ的分布列.解:基本事件总数n=15C+25C+35C+45C+55C=31.依题意,ξ的所有可能取值为1,2,3,4,5,又P(ξ=1)=15C31=531,P(ξ=2)=25C31=1031,P(ξ=3)=35C31=1031,P(ξ=4)=45C31=531,P(ξ=5)=55C31=131,故ξ的分布列为ξ12345P53110311031531131考点二离散型随机变量的均值★★★★考查角度1:求离散型随机变量的均值【例2】导学号38486212(2017·山东德州一模)某班为了提高学生学习英语的兴趣,在班内举行英语写、说、唱综合能力比赛,比赛分为预赛和决赛2个阶段,预赛为笔试,决赛为说英语、唱英语歌曲,将所有参加笔试的同学(成绩得分为整数,满分100分)进行统计,得到频率分布直方图,其中后三个矩形高度之比依次为4∶2∶1,落在[80,90)的人数为12人.解:(1)落在区间[80,90)的频率是(1-0.16)×27=0.24,所以班级人数为120.24=50人.(1)求此班级人数;解:(2)由(1)知,参加决赛的选手共6人,①设“甲不在第一位,乙不在最后一位”为事件A,则P(A)=5114544466AAAAA=710,所以甲不在第一位、乙不在最后一位的概率为710.(2)按规定预赛成绩不低于90分的选手参加决赛,已知甲、乙两位选手已经取得决赛资格,参加决赛的选手按抽签方式决定出场顺序.①甲不排在第一位乙不排在最后一位的概率;②记甲、乙二人排在前三位的人数为X,求X的分布列和数学期望.②随机变量的可能取值为0,1,2,P(X=0)=243466AAA=15,P(X=1)=1114233466CAAAA=35,P(X=2)=243466AAA=15,随机变量X的分布列为:X012P153515因为E(X)=0×15+1×35+2×15=1,所以随机变量的数学期望为1.反思归纳求离散型随机变量均值的步骤:(1)理解随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值;(2)求X的每个值的概率;(3)写出X的分布列;(4)由均值定义求出E(X).【例3】导学号38486213(2016·武汉市武昌区高三调研)某城市随机抽取一年内100天的空气质量指数(AQI)的监测数据,结果统计如下:AQI[0,50](50,100](100,150](150,200](200,300]300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数61418272015(1)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季,其中有8天为严重污染.根据提供的统计数据,完成下面的2×2列联表,并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”?非严重污染严重污染总计供暖季非供暖季总计100解:(1)根据题设中的数据得到如下2×2列联表:非严重污染严重污染总计供暖季22830非供暖季63770总计8515100将2×2列联表中的数据代入公式计算,得K2=2100(227638)85153070≈4.575,因为4.5753.841,所以有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”.(2)已知某企业每天的经济损失y(单位:元)与空气质量指数x的关系式为y=0,0100,400,100300,2000,300,xxx试估计该企业一个月(按30天计算)的经济损失的数学期望.附:K2=2()()()()()nadbcabcdacbdP(K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828解:(2)任选一天,设该天的经济损失为X元,则P(X=0)=P(0≤x≤100)=20100=15,P(X=400)=P(100x≤300)=65100=1320,P(X=2000)=P(x300)=15100=320,所以E(X)=0×15+400×1320+2000×320=560,故该企业一个月的经济损失的数学期望为30×E(X)=16800元.反思归纳求解离散型随机变量的分布列与数学期望时,一定要明确每个变量的取值所对应的事件发生的过程,这样才能判断事件的性质,进而选用相应的概率模型求其概率.考点三离散型随机变量的方差【例4】导学号18702589如图,A,B两点由5条连线并联,它们在单位时间内能通过信息的最大量依次为2,3,4,3,2,现将从中任取三条线且在单位时间内都通过最大信息量的总量记为X.求X的均值和方差.解:P(X=7)=212235CCC=15;P(X=8)=2112212235CCCCC=310;P(X=9)=11122135CCCC=25;P(X=10)=212135CCC=110,则E(X)=7×15+8×310+9×25+10×110=8.4,D(X)=(7-8.4)2×15+(8-8.4)2×310+(9-8.4)2×25+(10-8.4)2×110=0.84.反思归纳计算离散型随机变量的方差关键是先求分布列,只要知道了分布列,就可以求出均值进而根据公式求出方差.考点四超几何分布及其应用★★★★考查角度1:利用超几何分布模型求概率【例5】导学号18702591在15个村庄中有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用ξ表示这10个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率等于的是()(A)P(ξ=2)(B)P(ξ≤2)(C)P(ξ=4)(D)P(ξ≤4)46781015CCC解