解三角形课件.ppt

第十讲解三角形ABCabc△ABC中：A+B+C=（1）（2）22CBA22C（3）BAbaBAsinsinRCcBbAa2sinsinsin正弦定理:CRcBRbARasin2sin2sin2(边化角)RcCRbBRaA2sin2sin2sin（角化边）从理论上正弦定理可解决两类问题：1．两角和任意一边，求其它两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。ＡＢＣaＡＢＣab已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解或一解（见图示）CABbaCABbaCABbaCAbaa1B2Ba=bsinA一解bsinAab两解ab一解一解ab2accbacosC2acbcacosB2bcacbcosA222222222余弦定理：求角CabbacBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222求边余弦定理可解决两类问题：1．已知三边求三角；2．已知两边和它们的夹角，求此角对边，进而可求其它角。ＡＢＣbcaＡＢＣbc面积公式：BacAbcCabSsin21sin21sin21ＡＢＣbc典型例题分析：例１．在△ABC中，角均为锐角，且则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形,sincosBA答案：cossin()sin,,22AABAB都是锐角，,,222ABABC则选Ｃ训练、在锐角△ABC中，求证：CBACBAcoscoscossinsinsin证明：∵△ABC是锐角三角形，∴即,2AB022ABsinsin()2AB∴即sincosAB同理sincosBCsincosCA，CBACBAcoscoscossinsinsin∴ABCBabsin2A0300600060120或0015030或例２、在△中，若则等于（）．B．C．D．A．答案：012sin,sin2sinsin,sin,302baBBABAA或0150选D例3、在△ABC中，，则的最大值是________。,26AB030CACBCCAB,,sinsinsinsinsinsinACBCABACBCABBACBAC∵解：ACBC∴2(62)(sinsin)4(62)sincos22ABABABmax4cos4,()42ABACBC例4、在△ABC中，若则△ABC的形状是什么？,coscoscosCcBbAa解：coscoscos,sincossincossincosaAbBcCAABBCCsin2sin2sin2,2sin()cos()2sincosABCABABCCcos()cos(),2coscos0ABABABcos0A或cos0B得或2A2B所以△ABC是直角三角形。例5、在△ABC中，若，则求证：。0120BA1cabcba分析：要证：1cabcba只要证：2221aacbbcabbcacc即：222abcab而∵0120BA∴060C2222220cos,2cos602abcCabcababab∴原式成立。例6、在△ABC中，若，则求证：223coscos222CAbac2acb证明：∵223coscos222CAbac即：sinsincossinsincos3sinAACCCAB∴sinsinsin()3sinACACB即：sinsin2sinACB∴1cos1cos3sinsinsin222CABAC2acb即：例7、在△ABC中，若则△ABC的形状是______________。21(1cos21cos2)cos()1,2ABAB21(cos2cos2)cos()0,2ABAB2cos()cos()cos()0ABABABcoscoscos0ABC例8、在△ABC中，若，则的值是_________。acb2BBCA2coscos)cos(22,sinsinsin,bacBAC分析：BBCA2coscos)cos(由得：2coscossinsincos12sinACACBBcoscossinsincos12sinsinACACBACcoscossinsincos1ACACBcos()cos11ACB例9、如果△ABC内接于半径为的圆，且求△ABC的面积的最大值。,sin)2()sin(sin222BbaCAR解：2sinsin2sinsin(2)sin,RAARCCabB222sinsin(2)sin,2,aAcCabBacabb222222022,cos,4522abcabcabCCab122sin2sin2sin244SabCabRARB222sin2sin2sinsin4RARBRAB222sin2sin2sinsin4RARBRAB212[cos()cos()]2RABAB22122[cos()]2222(1)22RABR2max212SR此时取得等号AB例10、已知△ABC的三边且，求cba2,2CAbca::abc解：sinsin2sin,2sincos4sincos2222ACACACACACB12147sincos,cos,sin2sincos222424224BACBBBB33371sinsin()sincoscossin4444ABBB71sinsin()sincoscossin4444CBBB::sin:sin:sinabcABC)77(:7:)77(3,,,24242BBACACBAC例11、在△ABC中，若()()3abcabcac且，边上的高为，求角的大小与边的长。tantan33ACAB43,,ABC,,abc解：22201()()3,,cos,602abcabcacacbacBBtantan33tan(),3,1tantan1tantanACACACACtantan23ACtantan33AC又得tan1tan23tan1tan23AACC或即：000075454575AACC或当时，0075,45AC434(326),8(31),8sinbcaA当时，0045,75AC4346,4(31),8sinbcaA