任意角和弧度制及任意角的三角函数-知识点与题型归纳

1●高考明方向1.了解任意角的概念．2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.★备考知考情1.三角函数的定义与三角恒等变换等相结合，考查三角函数求值问题．2.三角函数的定义与向量等知识相结合，考查三角函数定义的应用．3.主要以选择题、填空题为主，属中低档题.一、知识梳理《名师一号》P47知识点一角的概念(1)分类按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.《名师一号》P47对点自测1、22注意：1、《名师一号》P48问题探究问题1、2相等的角终边相同，终边相同的角也一定相等吗？相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．角的表示形式是唯一的吗？角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴的负半轴上的角的集合可以表示为{x|x＝k·360°－90°，k∈Z}，也可以表示为{x|x＝k·360°＋270°，k∈Z}．(补充)2、正角零角负角3、下列概念应注意区分小于90°的角；锐角；第一象限的角；0°～90°的角．4、(1)终边落在坐标轴上的角1）终边落在x轴非负半轴上的角{x|x＝2kπ，k∈Z}2）终边落在x轴非正半轴上的角{x|x＝2kπ+π，k∈Z}终边落在x轴上的角{x|x＝kπ，k∈Z}3）终边落在y轴非负半轴上的角{x|x＝2kπ+π2，k∈Z}4）终边落在y轴非正半轴上的角{x|x＝2kπ+3π2，k∈Z}3终边落在y轴上的角{x|x＝kπ+π2，k∈Z}(2)象限角（自己课后完成）知识点二弧度的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度；②弧长公式：l＝|α|r；③扇形面积公式：S扇形＝12lr和12|α|r2.关键：基本公式180rad《名师一号》P47对点自测3注意：1、《名师一号》P48问题探究问题3在角的表示中角度制和弧度制能不能混合应用？不能．在同一个式子中，采用的度量制度是一致的，不可混用．2、弧长公式与扇形面积公式（扇形的圆心角为弧度，半径为r）4弧长公式||lr扇形面积公式12Slr(补充)（将扇形视为曲边三角形，记l为底，r为高）知识点三任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)．(补充)1、广义的三角函数定义三角函数的定义让角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在角的终边上任取一点，则角的三角函数值如下：220OrPrxy22sinyyrxy22cosxxrxytan0yxx特别地，当时221OPrxysinycosxtan0yxx2、各象限角的三角函数值符号规律：(补充)关键：立足定义正弦……一二正，横为零余弦……一四正，纵为零5正切……一三正，横为零，纵不存在3、特殊角的三角函数值（自己课后完成）知识点三任意角的三角函数(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．《名师一号》P47对点自测6注意：《名师一号》P48问题探究问题4如何利用三角函数线解不等式及比较三角函数值的大小？(1)先找到“正值”区间，即0～2π间满足条件的范围，然后再加上周期．(2)先作出角，再作出相应的三角函数线，最后进行比较6大小，应注意三角函数线的有向性．也可以利用相应图象求解二、例题分析：（一)角的表示及象限角的判定例1.《名师一号》P48高频考点例1(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；(2)已知α是第三象限角，求α2所在的象限．【思维启迪】(1)角的终边是射线，应分两种情况求解．(2)把α写成集合的形式，从而α2的集合形式也确定．解：(1)当角的终边在第一象限时，角的集合为{α|α＝2kπ＋π3，k∈Z}，当角的终边在第三象限时，角的集合为{α|α＝2kπ＋43π，k∈Z}，故所求角的集合为{α|α＝2kπ＋π3，k∈Z}∪{α|α＝2kπ＋43π，k∈Z}7＝{α|α＝kπ＋π3，k∈Z}．(2)∵2kπ＋πα2kπ＋32π(k∈Z)，∴kπ＋π2α2kπ＋34π(k∈Z)．当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋π2α22nπ＋34π，α2是第二象限角，当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋3π2α22nπ＋74π，α2是第四象限角，综上知，当α是第三象限角时，α2是第二或第四象限角．注意:《名师一号》P48高频考点例1规律方法(1)若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2kπ＋α(0≤α2π)(k∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断．(2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．8（二)弧度制的定义和公式例1.《名师一号》P48高频考点例2(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？解：(1)设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝1012θ·r2＝4⇒r＝1，θ＝8(舍)，r＝4，θ＝12故扇形圆心角为12.(2)设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40.S＝12θ·r2＝12r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100，当且仅当r＝10时，Smax＝100，θ＝2.所以当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大．《名师一号》P47对点自测4注意：《名师一号》P48高频考点例2规律方法91.弧度制下l＝|α|·r，S＝12lr，此时α为弧度．在角度制下，弧长l＝nπr180，扇形面积S＝nπr2360，此时n为角度，它们之间有着必然的联系．2．在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．（三)三角函数的定义及应用例1.《名师一号》P48高频考点例3(1)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－255，则y＝________.解：(1)r＝x2＋y2＝16＋y2，且sinθ＝－255，所以sinθ＝yr＝y16＋y2＝－255，所以θ为第四象限角，解得y＝－8.《名师一号》P47对点自测5(3)(2015·日照模拟)已知点P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，则角θ是第________象限角．10解：(3)因为点P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，所以sinθcosθ0,2cosθ0，即sinθ0，cosθ0，所以θ为第二象限角．※(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP→的坐标为________．解：(2)如图，连接AP，分别过P，A作PC，AB垂直x轴于C，B点，过A作AD⊥PC于D点，由题意知BP的长为2.11∵圆的半径为1，∴∠BAP＝2.故∠DAP＝2－π2.∴DP＝AP·sin2－π2＝－cos2.∴PC＝1－cos2，DA＝APcos2－π2＝sin2.∴OC＝2－sin2，故OP→＝(2－sin2,1－cos2)．注意：《名师一号》P48高频考点例2规律方法1.利用定义求三角函数值．在利用三角函数的定义求角α的三角函数值时，若角α终边上点的坐标是以参数的形式给出的，则要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论．任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关．2．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值(sinα，cosα，tanα)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．3．与向量等问题形成的交汇问题，抓住问题的实质，寻找相应的角度，然后通过解三角形求得解．12练习：若一个角α的终边在直线3yx上，求310sincos的值。答案：0注意：立足定义是根本！三角函数的定义是三角函数的基础，由三角函数的定义可得同角三角函数的基本关系及各象限角的三角函数值符号等。利用三角函数的定义解题时应先确定点的坐标及点的位置。（四）以三角函数的定义为载体的创新问题《名师一号》P49特色专题三角函数的概念是考查三角函数的重要工具，在高考命题中很少单独考查，但常结合三角函数的基础知识、三角恒等变换和向量等知识综合考查，涉及的知识点较多，且难度不大．13【典例】如图所示，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(2，－2)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为()ABCD【规范解答】用t表示出OP与x轴正方向所成的角，然后利用三角函数的定义得到d的函数表达式即可．∵P0(2，－2)，∴∠P0Ox＝π4.按逆时针转时间t后，得∠POP0＝t，∠POx＝t－π4.由三角函数定义，知点P的纵坐标为2sint－π4.因此d＝2sint－π4.14令t＝0，则d＝2sin－π4＝2，当t＝π4时，d＝0，故选C.【名师点评】解决本题的关键有以下两点：(1)结合圆周运动，准确理解题意，根据三角函数定义，表示出d＝2sint－π4是关键．(2)涉及函数图象判定问题，结合函数的性质、特殊化思想是快捷求解的有效途径．练习:《名师一号》P49对应训练如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1m的圆O在t＝0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y＝cosx，则y与时间t(0≤t≤1，单位：s)的函数y＝f(t)的图象大致为()ABCD15解析圆半径为1，设弧长x所对的圆心角为α，则α＝x，如图所示，cosα2＝1－t，即cosx2＝1－t，则y＝cosx＝2cos2x2－1＝2(1－t)2－1＝2(t－1)2－1(0≤t≤1)．其图象为开口向上，在[0,1]上的一段抛物线．课后作业计时双基练P241基础1-11、培优1-4课本P48-49变式思考1、2、3；对应训练预习第三章第二节同角三角函数的基本关系