2.3.2平面与平面垂直的判定

知识回顾1.在平面几何中角是怎样定义的？从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。或:一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。2.在立体几何中,异面直线所成的角是怎样定义的？直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a'//a,b'//b,我们把相交直线a'和b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角。3.在立体几何中,直线和平面所成的角是怎样定义的？平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。思考：异面直线所成的角、直线和平面所成的角与有什么共同的特征？它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间的角,即平面角。一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面。一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每一部分都叫做射线。All定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。平面角由射线--点--射线构成。二面角由半平面--线--半平面构成。oABlαβlABPQ二面角的表示l二面角QlP二面角AB二面角QABP二面角l二面角－l－二面角C－AB－DABCD二面角的画法CEFDAB角BAO边边顶点从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。定义构成边—点—边（顶点）表示法∠AOB二面角AB面面棱a从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。面—直线—面（棱）二面角—l—或二面角—AB—图形以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。二面角的度量l二面角的平面角的三个特征:1.点在棱上2.线在面内3.与棱垂直二面角的大小的范围:0180OABAOBCD平面角是直角的二面角叫做直二面角.A’AB’C’CD’DB例1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中求:二面角D’-AB-D的大小求:二面角A’-AB-D的大小AOD例2:已知锐二面角－l－，A为面内一点，A到的距离为2，到l的距离为4，求二面角－l－的大小。3lAOD解：过A作AO⊥于O，过O作OD⊥l于D，连AD得AD⊥l3∴AO=2，AD=4∵AO为A到的距离，AD为A到l的距离∴∠ADO就是二面角－l－的平面角∵sin∠ADO=∴∠ADO=60°∴二面角－l－的大小为60°在Rt△ADO中，43223AOADlAO⊥ADAOD平面AO⊥l,OD⊥ll⊥平面AODl平面小结:二面角一、二面角的定义：二、二面角的表示方法：三、二面角的平面角：四、二面角的平面角的作法：五、二面角的计算：二面角－AB－二面角C－AB－D二面角－l－1、根据定义作出来2、利用直线和平面垂直作出来1、找到或作出二面角的平面角2、证明1中的角就是所求的角3、计算所求的角一“作”二“证”三“计算”从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。1、二面角的平面角必须满足三个条件2、二面角的平面角的大小与其顶点在棱上的位置无关3、二面角的大小用它的平面角的大小来度量练习如图，已知A、B是120的二面角—l—棱l上的两点，线段AC，BD分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l，AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。ADBCl练习如图，已知A、B是120的二面角—l—棱l上的两点，线段AC，BD分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l，AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。ADBClO分析：∠OAC＝120AO=BD=1,AC=271202222COSACAOAOACCO四边形ABDO为矩形,DO=AB=3437222DOCOCD在Rt△COD中，练习如图，已知A、B是120的二面角—l—棱l上的两点，线段AC，BD分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l，AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。ADBCl∵BD⊥l∴AO∥BD，∴四边形ABDO为矩形,∴DO∥l，AO=BD∵AC⊥l，AO⊥l，∴l⊥平面CAO∴AO⊥l∴CO⊥DOO437222DOCOCD在Rt△COD中，DO=AB=3E解：在平面内，过A作AO⊥l，使AO=BD,连结CO、DO,则∠OAC就是二面角—l—的平面角，即∠OAC＝120，71202222COSACAOAOACCO∵BD=1∴AO=1，在△OAC中，AC=2，∴面面垂直的判定一、二面角的定义：二、二面角的表示方法：三、二面角的平面角：四、二面角的平面角的作法：五、二面角的计算：二面角－AB－二面角C－AB－D二面角－l－1、根据定义作出来——定义法2、利用直线和平面垂直作出来——垂线垂面法1、找到或作出二面角的平面角2、证明1中的角就是所求的角3、计算所求的角一“作”二“证”三“算”从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。221、二面角的平面角必须满足三个条件2、二面角的平面角的大小与其顶点在棱上的位置无关3、二面角的大小用它的平面角的大小来度量复习回顾：观察下面两个图形,它们之间有什么关系?OAB如果两个平面相交所成的二面角是直二面角，那么我们称这两个平面相互垂直.画法：记作：一、两个平面垂直的定义二、两个平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．已知：AB⊥β，AB⊂α.求证：α⊥β。[证明]：设α∩β=CD，∵AB⊥β，CD⊂β，∴AB⊥CD．在平面β内过点B作直线BE⊥CD，则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，而AB⊥BE，故α-CD-β是直二面角．∴α⊥β。ABCDE两个平面垂直的判定定理：线线垂直线面垂直面面垂直如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.ACDA1C1D1ＢB1例1：在正方体ABCD—A1B1C1D1中,求证：平面AA1C1C⊥平面BB1D1D例题讲解：例2．如右图：A是ΔBCD所在平面外一点，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，E是BD的中点，求证：平面AEC⊥平面ABDDACBE证明：∵∠ABC=∠ADC=90°AB=AD，AC=AC.∴△ABC≌△ADC.∴CB=CD又∵AB=AD，E是BD的中点，∴AE⊥BD，CE⊥BD,AE∩EC=E，∴BD⊥平面AEC.又BD在平面BCD内，∴平面AEC⊥平面ABD若将此条件改为∠BAC=∠DAC=90°，则结论成立吗？例3．在空间四边形ABCD中,若AB=BC,AD=CD,E为对角线AC的中点.求证:平面ABC⊥平面BDECADBE2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线，则α⊥β.（）课堂练习1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.（）3.如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线,则α⊥β.（）一、判断：××4.若m⊥α，m//β，则α⊥β.()√√1.过平面α的一条垂线可作_____个平面与平面α垂直.2.过一点可作_____个平面与已知平面垂直.二、填空题：3.过平面α的一条斜线，可作____个平面与平面α垂直.4.过平面α的一条平行线可作____个平面与α垂直.一无数无数一在空间四边形ABCD，AB=BC，AD=CD，E、F、G分别是AD、CD、AC的中点.求证:平面BEF平面BDG。CADBEFG三、证明题：归纳小结：(1)判定面面垂直的两种方法：①定义法②根据面面垂直的判定定理(2)面面垂直的判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据；(3)从面面垂直的判定定理我们还可以看出面面垂直的问题可以转化为线面垂直的问题来解决.