2014年高考湖北理科数学试题及答案(word解析版)

12014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2014年湖北，理1，5分】i为虚数单位，则21i1i（）（A）1（B）1（C）i（D）i【答案】A【解析】因为21i2i11i2i，故选A．【点评】本题考查复数的运算，容易题．（2）【2014年湖北，理2，5分】若二项式72axx的展开式中31x的系数是84，则实数a（）（A）2（B）54（C）1（D）24【答案】D【解析】因为77727722xrrrrrraCxCaxx，令723r，得2r，22727284Ca，解得24a，故选D．【点评】本题考查二项式定理的通项公式，容易题．（3）【2014年湖北，理3，5分】设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得AC，UBCC是“AB”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】依题意，若AC，则UUCCCA，UBCC，可得AB；若AB，不能推出UBCC，故选A．【点评】本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件判断，容易题．（4）【2014年湖北，理4，5分】根据如下样本数据x345678y4.02.5-0.50.5-2.0-3.0得到的回归方程为ˆybxa，则（）（A）0a，0b（B）0a，0b（C）0a，0b（D）0a，0b【答案】B【解析】依题意，画散点图知，两个变量负相关，所以0b，0a，故选B．【点评】本题考查根据已知样本数判断线性回归方程中的b与a的符号，容易题．（5）【2014年湖北，理5，5分】在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是0,0,2，2,2,0，1,2,1，2,2,2，给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）（A）①和②（B）③和①（C）④和③（D）④和②【答案】D【解析】在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D．【点评】本题考查空间由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的形状，再正视图与俯视图，容易题．（6）【2014年湖北，理6，5分】若函数fx，gx满足110fxgxdx，则称fx，gx2为区间1,1上的一组正交函数，给出三组函数：①1sin2fxx，1cos2gxx；②1fxx，1gxx；③fxx,2gxx，其中为区间1,1的正交函数的组数是（）（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】C【解析】对①1111111111sincossincos02222xxdxxdxx，则fx，gx为区间1,1上的正交函数；对②11231111111103xxdxxdxxx，则fx，gx不为区间1,1上的正交函数；对③134111104xdxx，则fx，gx为区间1,1上的正交函数，所以满足条件的正交函数有2组，故选C．【点评】新定义题型，本题考查微积分基本定理的运用，容易题．（7）【2014年湖北，理7，5分】由不等式0020xyyx确定的平面区域记为1，不等式12xyxy，确定的平面区域记为2，在1中随机取一点，则该点恰好在2内的概率为（）（A）18（B）14（C）34（D）78【答案】D【解析】依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何公式知，该点落在2内的概率为：11221172218222P，故选D．【点评】本题考查不等式组表示的平面区域，面积型的几何概型，中等题．（8）【2014年湖北，理8，5分】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了有圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式21.36vLh它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3．那么近似公式2275vLh相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）（A）227（B）258（C）15750（D）355113【答案】B【解析】设圆锥底面圆的半径为r，高为h，依题意，22Lr，22122375rhrh，所以218375，即的近似值为258，故选B．【点评】本题考查《算数书》中的近似计算，容易题．（9）【2014年湖北，理9，5分】已知12,FF是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且123FPF，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）（A）433（B）233（C）3（D）2【答案】B【解析】设椭圆的短半轴为a，双曲线的实半轴为1a1aa，半焦距为c，由椭圆、双曲线的定义得122PFPFa，1212PFPFa，所以11PFaa，21PFaa，因为1260FPF，由余弦定理3得：22211114caaaaaaaa，所以222143caa，即22221112222142aaaaaccccc，22111148eee，利用基本不等式可得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为233，故选B．【点评】本题椭圆、双曲线的定义和性质，余弦定理及用基本不等式求最值，难度中等．（10）【2014年湖北，理10，5分】已知函数()fx是定义在R上的奇函数，当0x时，2221()(|||2|3)2fxxaxaa，若Rx，(1)()fxfx，则实数a的取值范围为（）（A）11,66（B）66,66（C）11,33（D）33,33【答案】B【解析】依题意，当0x时，2222223220xaxafxaaxaxxa，作图可知，fx的最小值为2a，因为函数fx为奇函数，所以当0x时，fx的最大值为2a，因为对任意实数x都有，1fxfx，所以，22421aa，解得6666a，故实数a的取值范围是66,66，故选B．【点评】本题考查函数的奇函数性质、分段函数、最值及恒成立，难度中等．二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）（11）【2014年湖北，理11，5分】设向量3,3a，1,1b，若abab，则实数．【答案】3【解析】因为3,3ab，3,3ab，因为abab，所以33330，解得3．【点评】本题考查平面向量的坐标运算、数量积，容易题．（12）【2014年湖北，理12，5分】直线1:lyxa和2:lyxb将单位圆22:1Cxy分成长度相等的四段弧，则22ab．【答案】2【解析】依题意，圆心0,0到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，即22ab，2cos4522a，所以221ab，故222ab．【点评】本题考查直线与圆相交，点到直线的距离公式，容易题．（13）【2014年湖北，理13，5分】设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为Ia，按从大到小排成的三位数记为Da（例如815a，则158Ia，851Da）．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b．【答案】495【解析】当123a，则321123198123b，当198a，则981198783198b；当783a，则954459ba，终止循环，故输出495b．【点评】新定义题型，本题考查程序框图，当型循环结构，容易题．（14）【2014年湖北，理14，5分】设fx是定义在0,上的函数，且0fx，对任意0a,0b,0a,0b，4若经过点afa,,bfxbfbafa,,,的直线与x轴的交点为0,c，则称c为a,b关于函数fx的平均数，记为,fMab，例如，当1fx)0(1xxf时，可得2fabMc，即,fMab为,ab的算术平均数．（1）当fx=________（0x）时，,fMab为,ab的几何平均数；（2）当fx=________（0x）时，,fMab为,ab的调和平均数2abab；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）【答案】（1）x（2）x（或填（1）1kx（2）2kx，其中12,kk为正常数均可）【解析】设0fxxx，则经过点,aa，,bb的直线方程为yabaxaba，令0y，所以2abcxab，所以当0fxxx，,fMab为,ab的调和平均数2abab．【点评】本题考查两个数的几何平均数与调和平均数，难度中等．（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）（15）【2014年湖北，理15，5分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，P为O的两条切线，切点分别为,AB，过PA的中点Q作割线交O于,CD两点，若1QC，3CD，则PB_______．【答案】4【解析】由切割线定理得21134QAQCQD，所以2QA，4PBPA．【点评】本题考查圆的切线长定理，切割线定理，容易题．（16）【2014年湖北，理16，5分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C的参数方程是33xtty（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程是2，则1C与2C交点的直角坐标为．【答案】3,1【解析】由33xtty，消去t得2230,0xyxy，由2得224xy，解方程组222243xyxy，得1C与2C的交点坐标为3,1．【点评】本题考查参数方程，极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，曲线的交点，容易题．三、解答题：共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2014年湖北，理17，11分】某实验室一天的温度（单位：C）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系；()103cossin,[0,24)1212ftttt．（1）求实验室这一天的最大温差；（2）若要求实验室温度不高于11C，则在哪段时间实验室需要降温？解：（1）因为31()102(cossin)102sin()212212123ftttt，又024t，所以7,1sin()131233123tt，当2t时，sin()1123t；当14t时，sin()1123t，于是()ft在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8，故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃．5（2）依题意，当()11ft时实验室需要降温，由（1）得()102sin()123ftt