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§8.6z变换与拉普拉斯变换的关系一.z平面与s平面的映射关系二.z变换与拉氏变换表达式之对应返回至此,我们已经讨论了三种变换方法,即:傅立叶变换、拉普拉斯变换和z变换。这些变换并不是孤立的,它们之间有着密切联系,并在一定条件下可以互相转化。在第四章讨论过傅立叶变换与拉普拉斯变换的关系,现在研究z变换与拉普拉斯变换的关系。sTzsze,关系TjTTjeeez代入比较一.z平面与s平面的映射关系在引入z变换的定义时,引入符号z=esTs(直角坐标):s=+jOjj00sjs平面je)(rzz:极坐标jerz)Re(z)Im(jzOz平面0r0式中T是序列的时间间隔,重复频率s=2p/T幅角:=T=2p半径:r=eT=所以ssep2s~z平面映射关系这两个等式表明:z的模r仅对应于s的实部;z的幅角仅对应于s的虚部。(1)s平面的原点,=0=0r=1=0z平面,即z=1。s平面(s=+jz平面(z=rej原点=0,=0)ojz=1ojImzRez1(2)s平面上的虚轴(=0,s=j)映射到z平面是单位圆;s平面的左半平面(0)映射到z平面是单位圆的圆内;s平面的右半平面(0)映射到z平面是单位圆的圆外;平行于虚轴的直线(常数)映射到z平面是圆。s平面(s=+jz平面(z=rej虚轴=0,s=j)0j单位圆(r=1,任意)jImzRez01左半平面(0)单位圆内(r1,任意)0jjImzRez01右半平面(0)单位圆外(r1,任意)01RezjImz平行于虚轴的直线(常数:-)圆(0,r10,r1r为常数:0任意)0j0jRezjImz0(3)s平面上的实轴(=0,s=)映射到z平面是正实轴;平行于实轴的直线(常数)映射到z平面是始于原点的辐射线;通过jks/2(k=+1,+3,…)而平行于实轴的直线映射到z平面是负实轴。s平面(s=+jz平面(z=rej实轴=0,s=)0j正实轴(=0,r任意)jImzRez0平行于实轴的直线(常数)始于原点的辐射线(=常数,r任意)0j-j2j1jImzRez01T-2T通过+jks/2平行于实轴的直线(k1,3...)负实轴(=p,r任意)jImzRez00jjs/2-js/2(4)由于z=rej是T的周期函数,因此当由-p/T~p/T时,由-p~p,幅度旋转了一周,映射到了整个z平面。因此每增加一个s2p/T,就相应增加2p,也就重复旋转一周,z平面就重叠一次。所以,z~s映射不是单值的。下图说明了上述映射关系。01RezjImz0js/2-s/20js/2-s/21RezjImz00js/2-s/2RezjImz10j0-s/2s/2RezjImz10j-s/2s/20RezjImz10掌握了s~z平面映射规律之后,容易利用类似在连续时间系统分析中的方法,研究离散时间系统函数z平面特性与系统时域特性、频响特性以及稳定性的关系。返回二.z变换与拉氏变换表达式之对应我们知道:dsesXjtxstjj-p21,,,ndsesXjnTxsnTjj21021-p当把x(t)以等间隔T抽样后:其z变换为:nnznxzX-0nnsnTjjzdsesXj--021pdszesXjnnsTjj--0121p此式的收敛条件是:|z||esT|,当符合这一条件时10111---zezesTnnsTdsezszXjdszesXjzXjjsTjjsT-----pp211211这就是直接由连续函数的拉氏变换式求抽样后的离散序列z变换式的关系式。该积分式当然也可以用留数定理来计算。即:-sTezszXsRezXX(s)的诸极点例如:当X(s)有一单阶极点s1时1111111zzzkezzkezsXsszezszXsReTssssTsssT-----txˆtxˆtxˆtxˆn21tuAtxNitpiNiii11eˆ若连续时间信号(t)由N项指数信号相加组合而成xˆ以上从拉氏逆变换式出发推证了拉氏变换式与z变换式的关系式。容易求得,它的拉式变换为-NiiipsAtxL1ˆ若序列X(nT)由N项指数序列相加组合而成nTxnTxnTxnTxN21下面把信号按部分分式分解进行讨论nTuAnTxNinTpiNiii11e它的z变换为--NiTpizAnTxZi11e1注意跳变值借助模拟滤波器设计数字滤波器例8-6-1例8-6-2返回注意:连续时间信号的突变点函数值与对应的序列样值有区别。例如,阶跃信号u(t)在t=0点定义为1/2;阶跃序列u(n)在点n=0定义为1。注意跳变值0e0200ˆtAtAttxtpiiii0e000tAtAtnTxntpiiii即点补足系时必须在按抽样规律建立二者联,20iA020nAnTttutxˆnnTttutxˆnunTxiiii当当返回已知指数函数e-atu(t)的拉式变换为,求抽样序列e-anTu(nT)的z变换。tutxat-eassX1X(s)只有一个一阶级点s=-a,可以直接求出e-anTu(nT)的z变换为aTzzX---e111解:例8-6-1返回as1于是,X(s)可以展成部分分式已知正弦信号sin(0t)u(t)的拉式变换为,求抽样序列sin(0nT)u(nT)的z变换。tutωtx0sin2020ωsωsX显然X(s)的极点位于s1=j0,s2=-j0,其留数分别为00j2jj2jωsωssX--解:已知2j2j21-AA及例8-6-22020ωsω可以得到sin(0nT)u(nT)的z变换为TωTωzzzX00j1j1e12je12j-------20101cos21sin----zTωzTωz返回
本文标题:§8.6 z变换与拉氏变换的关系
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