傅里叶变换及其应用自学ppt

基本原理欧拉幅角公式---复变函数wtiwtiwtsincose或者：iwtiwtiwtiwteewteewt2121sincos证明欧拉公式建立了三角函数和指数函数之间的关系，在复变理论中占有很重要的位置。傅里叶变换和傅里叶积分定理f(x)的傅里叶变换定义为dxexfssxi2F这个积分是s的函数，用同样的公式对F(s)变化，我们有：dsesFsi2当f(x)是x的偶函数时，重复变换得到f(ω),它与我们开始时的函数相同，此为傅里叶变换的循环换特性。当f(x)是x的奇函数时，重复变换得到f(-ω)。傅里叶变换和傅里叶积分定理一般地，不论非f(x)是奇函数、偶函数或者是一般函数，重复变换都将得到f(-x)。dxexfssxi2F可逆性傅里叶变换的常用公式为：dsesFxsxi2f我们把F(s)称为f(x)的-i变换而把f(x)称为F(s)的+i变换；即：dsedxefxsxisxi22-xf说明：在f(x)的不连续点上，等式的左边应该为1/2(f(x+)+f(x-)),也即，当从两侧逼近不连续点x时，等式左边应该为f(x)的不相等极限的均值。傅里叶变换和傅里叶积分定理可以把变换公式中出现的因子2π与s看成一体，得到下面的形式：dxexfssxiFdsesFxisx21f傅里叶变换存在的条件若1.┃f(x)┃从-∞到∞的积分存在；2.f(x)中的任何断点都是有限的，则上面的表达式等于f(x)(或者在f(x)的不连续点等于1/2(f(x+)+f(x-))。dsedxefsxisxi22-x奇偶性及其意义任意函数f(x)都可以无二义地分解为奇部和偶部，即：)()()()()(fxfxfxOxfxfxExOxEx2121-10-8-6-4-20246810xO(x)E(x)f(x)奇偶性及其意义设：其中E和O一般是复的)()()()()(fxfxfxOxfxfxExOxEx2121f(x)的傅里叶变换可以简化为：dxxsxOidxxsxE222200sincos由此可得如果函数式偶的，它的变换也是偶的，如果函数是奇的，它的变换也是奇的。奇偶性及其意义)(Im)(ReImRefxeixexoixeoxoxxdxxsxOidxxsxE222200sincos由此可得如果函数式偶的，它的变换也是偶的，如果函数是奇的，它的变换也是奇的。)(Im)(ReImRssFseisesoiseosOE余弦和正弦变换022sxdxscosxfFc对正的s，函数f(x)的余弦变换定义为应当注意到余弦变换没有考虑f(x)的坐标原点左边的部分，它仅定义了坐标原点右边的部分。对正的s，函数f(x)的正弦变换定义为022sxdxssinxfFs公式的含义用图形解释傅里叶积分给定f(x),我们画出一个震荡的f(x)cos2πx，介于f(x)与-f(x)包络之间，因为,所以f(x)cos2πsx下面积的两倍就是Fc(s)022sxdxscosxfFc0246810-1.0-0.50.00.51.0xs=10246810-1.0-0.50.00.51.0xs=0.10246810-1.0-0.50.00.51.0x上图这个面积实际上是趋近于零，而这意味着s的值相当大，第三张图是s值较小的情况。公式的含义把被积式f(x)cos2πxsdx看作幅度为𝑓𝑥𝑑𝑥频率为𝑥的余弦函数，也即把它看作𝑠的一个函数，对x的固定值进行积分。对x所有值得此类曲线求和即得到Fs(x)。022sxdxscosxfFc-8-4048-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0sx=0.5-8-4048-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0sx=1-8-4048-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0sx=0.1卷积卷积的含义卷积描述了一个观测仪器在一些变量的小范围上对某些物理量进行加权平均的操作。常常发生的情况是，加权函数的形式不随变量中心值得改变而改变，观测到的量是所要求的量的分布和加权函数的卷积，而不是所要求的物理量本身的值。所有物理观测都以这种方式受到仪器分辨能力的限制，也正是由于这个原因，卷积是无所不在的。两个函数f(x)和g(x)的卷积是：)(h)(*)(-xxgxfduuxguf卷积的理解一将u看作变量而将x看成参数：先将g(u)翻转成g(-u)，然后将g(-u)移动x距离即g(-(u-x));乘积曲线f(u)g(x-u)下的面积就是卷积h(x)。)(h)(*)(-xxgxfduuxguf卷积的理解二将x看作变量而将u看成参数：f(x)被分割为无穷小的柱条。每个柱条的作用将熔铸为以柱条为中心而具有g(x)曲线形状的一段子波形。图中只画出除了两个这样条柱熔铸的子波形，这样h(x)就等于所有的子波形在点x处贡献的总和。)(h)(*)(-xxgxfduuxguf卷积的理解三将u看作变量而将x看成参数:其中g(u)关于u=x/2作了翻转。和前面一样，乘积曲线f(u)g(x-u)下的面积就是卷积h(x)。从这个观点可以形象地看出卷积对翻转的中心线位置的依赖性。)(h)(*)(-xxgxfduuxguf卷积的含义卷积的定律：hfgfhgfhfghgfduuxfugduuxguffggf**)(*)*()*(*序列积假设给定两个函数f和g，要求计算它们的卷积。我们构造f值序列，它们位于宽度为ring的小的均匀间隔上mfffff3210相应的g的序列为nggggg3210我们可以很翻遍地将g序列系在一个活动纸条上，纸条可以连续地滑动到与f序列的每个循序序列值相对应的位置上(x)。g序列式按照公式的要求以相反地序列写在纸条上的。)(h-xduuxguf我们可以定义{fi}和{gi}的序列积的第(i+1)项如下jjijgf序列积的计算是一个完全可行的过程。两个序列可以方便地写成竖直的列，相应的结果写在由移动纸条上某个合适的位置上所画的箭头所指的位置。223342112491013108144561、序列积是一个比任何序列都要长的序列，它的项数比两个序列的项数的总和少一个。2、序列积的各元素的和等于两个序列的各项和的乘积。几个特殊的序列1、J0001000序列J起着与冲激符号δ(x)类似的重要作用。对任意序列{f},它有如下性质：{J}*{f}={f}当然只有一个元素的序列{1}和其他一些数列比如{100}也具有这个性质。2、或00011000-11-120110212101211fffffffffffff*-3、nnn1项11n可以生成n项的滑动平均几个特殊的序列4、半无限序列111Sn是求一个序列的前n项和。序列乘法的逆运算如果{f}*{g}={h}，则{h}称为{f}和{g}的序列积,这是因为序列{h}构成了用{f}和{g}所表示的多项式的乘积的多项式系数。反过来，已知{f}和{h}，求解{g}的过程可以称作序列除法。对于这样的问题，可以用多项式除法来解决。用矩阵表示的序列积nmnmhhhhhgggggfffff210210210设序列{h}是序列{f}和{g}的序列积，其中假设{f}有5个元素，{g}有3个元素，则{h}有7个元素。654321024231422130421120320110210010021001234012340123401230120100000000000000000000000000000hhhhhhhgfgfgfgfgfgfgfgfgfgfgfgfgfgfgfgggfffffffffffffffffffffffff对于用列矩阵表达序列的情况，交换律{a}*{x}={x}*{a}不再适用。自相关函数和五角星duxgufduxgufffu-u--☆如果f(x)是一个实函数，则f☆f是一个偶函数，其值在原点处取得最大值，即随着移位的引入，乘积的积分值会下降。通过把函数除以它的中心值来进行归一化，我们定义一个量r(x)10)(uu)(r--rdugufduxgufx我们称r(x)为f(x)的自相关函数。不过某些特定的应用场合，归一化问题常常并不重要，我们更感兴趣的是自相关函数的特性而不是它的幅度，所以，非归一化的形式就被称作自相关函数了。自相关是研究同一过程不同时刻的相互依赖关系，一个波形的普通自相关函数丢弃了其在时间维上的信息。三重相关dxxxfxxfxfxxU2121,互相关duuhxughgxf☆两个实函数g(x)和h(x)的互相关函数定义如下相对于g*h=h*g，h对g的互相关运算却不同于g对h的互相关运算。可以把g☆h看作“g扫描h”，即当g随x的变化移动时，h保持不动。和自相关的情况一样，互相关函数常被归一化使得其在原点处的值为1，并且在适当的时候，用平均值来代替无穷积分。在复函数情况下的相关duuhxughg**☆两个实函数g(x)和h(x)的互相关函数定义如下在复函数的情况下，我们习惯于定义（复的）相关为g*扫描h，其中g*是g的复共轭。作为一个特例，复函数f的复自相关为f*☆f能量谱图我们把一个函数的变换的模的平方称为能量谱，即┃F(s)┃2是f(x)的能量谱。尽管f(x)决定了F(s)从而也决定了┃F(s)┃2，但f(x)和它的能量谱之间并没有一一对应的关系，为了重建f(x)，必须要有┃F(s)┃以及F(s)的幅角。能量谱只包含了f(x)的某种信息，而并没有给出其傅里叶分量的相位情况。能量谱所丢失的信息和我们用自相关函数代替原始函数时所丢失的信息是完全一样的。能量谱图若f(x)表示的是一个物理波形，则f(x)是实的，它的能量谱是一个偶函数，因此可以由s≥0时的取值完全确定。为了强调这个事实，我们用术语“正频率能量谱”来表示s≥0的┃F(s)┃2。由于┃F(s)┃2有单位s上能量密度的性质，如果s的一个离散点上有非零的能量，那么┃F(s)┃2将会是无穷大。这是一种具有无限窄谱线的情况*一些有用函数的符号单位高度和单位宽度的矩形函数∏(x)单位高度和单位宽度的矩形函数定义：2112121210xxxx通过使用卷积运算，矩形函数也可以用来表示滑动平均，在频域内与一个矩形函数相乘可以看成一个理想的低通滤波。符号rectx是∏(x)的一个代替用法。别称：门函数，窗函数，厢函数单位高度和单位面积的三角函数Λ(x)单位高度和单位面积的三角函数定义：1110xxxxΛ(x)函数之所以很重要，很大程度上是因为它正好是∏(x)的自卷积。各种指数曲线、高斯曲线和瑞利曲线各种指数函数：各种指数曲线、高斯曲线和瑞利曲线高斯函数：2xexf)(高斯函数的傅里叶变换仍然是高