D3-1 不定积分 辽宁专升本,高等数学,树人,导航,2018

3.1不定积分3.2定积分第三部分一元函数积分学问题的提出我们知道本章所讲的内容就是导数的逆运算3.1不定积分?x11xx3.1.1原函数与不定积分的概念3.1.2基本积分公式3.1.3不定积分的性质3.1.4换元积分法1.第一类换元法2.第二类换元法3.1.5分部积分法3.1不定积分例xxcossinxsin是xcos的原函数.)0(1lnxxxxln是x1在区间),0(内的原函数.如果在区间I内，可导函数)(xF的导函数定义3-1dxxfxdF)()(，则函数)(xF就称为)(xf为)(xf，即Ix，都有)()(xfxF，或在区间I内原函数.3.1.1原函数与不定积分的概念问题：(1)原函数是否唯一？例xxcossinxCxcossin（C为任意常数）(2)若不唯一它们之间有什么联系？关于原函数的说明：（1）若，则对于任意常数，)()(xfxFCCxF)(都是)(xf的原函数.（2）若和都是的原函数，)(xF)(xG)(xf则CxGxF)()()()()()(xGxFxGxF0)()(xfxfCxGxF)()(（C为任意常数）（C为任意常数）积分常量积分号被积函数不定积分的定义：在区间I内，函数)(xf的原函数CxFdxxf)()(被积表达式积分变量的全体F(x)+C，称为)(xf在区间I内的不定积分，记为dxxf)(.定义3-2注1.fxdxFxC注2若已知F(x)是f(x)在区间I中的一个原函数,则有不定积分和原函数是总体与个体的关系.不定积分是一个集合，原函数则是该集合中的一个元素.例1求.5dxx解,656xx.665Cxdxx解例2求211dxx,11arctan2xx.arctan112Cxdxx例3设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为),(xfy根据题意知,2xdxdy即)(xf是x2的一个原函数.,22Cxxdx,)(2Cxxf由曲线通过点（1，2）,1C所求曲线方程为.12xy不定积分的几何意义xyo.FxCx不定积分的几何意义是一族积分曲线,在横坐标相同的点处,这些积分曲线的切线有相同的斜率,故这些切线都是平行的.斜率都为()fx这族曲线满足：实例xx11.11Cxdxx启示能否根据求导公式得出积分公式？)1(3.1.2基本积分公式1()(),dfxdxfxdx()(),dfxdxfxdx2()(),FxdxFxC.)()(CxFxdF结论微分运算与求不定积分的运算是互逆的.性质基本积分公式kCkxkdx()1(是常数););1(1)2(1Cxdxx1(3)dxx说明：,0x,lnCxxdx])[ln(,0xx,1)(1xxx,)ln(Cxxdx,||lnCxxdxlnxCdxx211)4(;arctanCxdxx211)5(;arcsinCxxdxcos)6(;sinCxxdxsin)7(;cosCxxdx2cos)8(xdx2sec;tanCxxdx2sin)9(xdx2csc;cotCxxdxxtansec)10(;secCxxdxxcotcsc)11(;cscCxdxex)12(;Cexdxax)13(;lnCaax以上公式必须牢记例4求积分.2dxxx解dxxx2dxx25Cx125125.7227Cx根据积分公式（2）Cxdxx11[()()]fxgxdx()();fxdxgxdx证()()fxdxgxdx()()fxdxgxdx).()(xgxf等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）()kfxdx().kfxdx（k是常数，)0k3.1.3不定积分的性质性质3-1性质3-2例5求积分解223211dxxx223211dxxxdxxdxx22112113xarctan3xarcsin2C例6求积分解3cosxexdx3cosxedxxdx3cosxexdxCxexsin3例7求积分xdx2tan解22tan(sec1)xdxxdxtanxxC例8求积分解421xdxx222(1)(1)11xxdxx22111xdxx2211xdxdxdxxCxxxarctan33421xdxx221cossindxxx例9求积分221cossindxxx22(cscsec)xxdxcottanxxC2222cossincossinxxdxxx解：例10求积分解22212(1)xdxxxdxxxx)1(2122222221(1)xxdxxxdxxdxx22111.arctan1Cxx例11求积分解11cos2dxxdxx2cos11dxx1cos2112dxx2cos121.tan21Cx说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.#使用基本积分表和运算性质求积分的方法称为直接积分法。但是xdx2cos,sinCx2解决方法利用复合函数，设置中间变量.令2xt1122dxdtdtxdx2cos1cos2tdtCtsin21.2sin21CxcossinxdxxC我们知道xCx22cos)(sin3.1.4换元积分法dfxdxfxdxxxxdx)2(2cos212cosxxd22cos21xu2111cossinsin2.222uduuCxCdxfxfxd)())(()()]([xdxfdxxxf()()uxfudu()FuCFxC注意：使用此公式的关键在于将([()]()())()fxdxfxdFxxCxdxxxf)()]([()()uxfudu设)(uf具有原函数，)(xu可导，则有换元公式定理3-2即将[()]()()()fxdxfxxxd拼凑成第一类换元法又称为凑微分法。第一类换元公式第一换元法(凑微分法)画方框看去向凑结构出结果还记得求极限的换元法么？画方框看去向凑结构出结果照方抓药：第一类换元积分法找对象找对象xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(arcdxxex22例1求解222,,2xueeuxxux被积函数中的一个因子为剩下的因子恰好是的导数，于是2222()xxedxexdxcedueuucex2例2求.dxx231解dxx2311(313222)dxxx112duu1ln2uC1ln32.2xCxu231321(32)2dxx例3求.)ln51(1dxxx解1(15ln)dxxx1()15lnlndxx1()15l5nn11l5dxxxuln21115duu1ln5uC熟练以后就不需要进行()ux转化了1ln15ln5xC1115lndxxx例4求.122dxxa解dxxa221222111dxxaa2111xaaxad.arctan1Caxa例5求.11dxex解dxex11dxeeexxx11dxeexx111xxxdxeed1)1(1xxdxeed.)1ln(Cexx例6求解.cos11dxxdxxcos11dxxx2cos1cos1dxxx2sincos1)(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxxdxxx32)2(找对象dxxx2cosdxxx21dxxx)ln21(1dxx3cosdxxex3dxxxx2)ln(ln1dxxx231)(arcsin1dxxxxlnlnln1dxxxx821211()0fdxfaxaxbabbdaxa2xxxxfedxefeed113aaaafxdxxfxdax1ln4lnlnfxdxfxxxdsinc5cosscoosfxdxfxxdx常用凑微分公式列举6sincossinsinfxxdxfxdx217arcsinarcsin(arcsin)1fxdxfxdxx218arctanarctanarctan1fxdxfxdxx29tansectantanfxxdxfxdx210cotcsccotcotfxxdxfxdx#解111211duuu例1求11111211duduuu211duu211duu111duuu11ln21uCu1ln1ln12uuC211duu11ln21uCu解dxxsin1xdxcsc)(coscos112xdxduu211例2求.cscxdxdxxx2sinsin211duu11ln21uCu211duu11ln21uCu1cos1ln2cos1xCx2cos11ln2cos1cos1xCxx22cos11ln2sinxCx1cosln.sinxCxlncsccotxxC三角函数(1)tanlncos;xdxx(2)cotlnsin;xdxxc(3)seclnsectan;xdxxxc(4)csclncsccot;xdxxxc三角函数的原函数例3求2cosxdx1cos22xdxCxx42sin2解1212cos2()2dxxxd例4解dxx3sinCxxxdxxdxxdxx)cos(coscos)cos(sinsinsin3223311说明当被积函数是三角函数偶次幂时，降幂。当被积函数是三角函数奇次幂时，凑微分.2cosxdx例5求解.cossin52xdxxxdxx52cossin)(sin)sin1(sin222xdxx)(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31